Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver.
f)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela da função
. Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e como identificar seus comportamentos extremos. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função, encontrar os pontos críticos e então determinar a natureza de cada ponto usando o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando variamos uma variável, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Esses são os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos resolver o sistema de equações:
Isso nos dá:
Mas
nunca é zero, então precisamos que os outros fatores sejam zero:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Para determinar se esse ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela, usamos o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as segundas derivadas parciais:
No ponto
, essas derivadas se tornam:
Passo 5
O próximo passo seria calcular o determinante da matriz Hessiana
. No nosso caso:
Quando
, o teste da segunda derivada é inconclusivo. Isso significa que não conseguimos determinar apenas com esse teste se o ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela.
Passo 6
Dado que o teste é inconclusivo, vamos analisar a função de outra maneira. Observando
, percebemos que o expoente pode ser reescrito completando o quadrado para
:
Então, a função fica:
Essa forma mostra que a função tem um máximo no ponto onde
é mínimo, ou seja, no ponto
.
Resposta
O ponto
é um máximo relativo da função
. Não há pontos de sela.
Exercícios relacionados
Suponha que
tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de
. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
c)
c)
Investigue o caráter das seguintes séries:
Suponha que
tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de
. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
b) ;
b)
Para as séries de potências abaixo, determine os domínios de convergência correspondentes: