Suponha que f(x, y) tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de f. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
c) f_xx(0,0)=3, f_xy(0,0)=2, f_yy(0,0)=2

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função que possui derivadas parciais de segunda ordem contínuas em todos os lugares, e sabemos que a origem é um ponto crítico da função. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teste da Derivada Segunda, que nos ajuda a determinar o tipo de ponto crítico (se é um ponto de mínimo, máximo ou ponto de sela). Para resolver isso, precisamos calcular o discriminante usando as segundas derivadas parciais fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as derivadas parciais fornecidas no ponto :
O próximo passo é calcular o discriminante , que é dado pela fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos analisar o valor de e para determinar o tipo de ponto crítico:
  • Se e : O ponto é um mínimo local.
  • Se e : O ponto é um máximo local.
  • Se : O ponto é um ponto de sela.
  • Se : O teste é inconclusivo.
No nosso caso, e .

Resposta

A origem é um ponto de mínimo local para a função .

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Investigue o caráter das seguintes séries: sumn=1^infty (-1)^n-1 3^nn^2
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f) f(x, y) = e^(- (x^2 + y^2 + 2*x))
Suponha que f(x, y) tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de f. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
b) f_xx(0,0)=-2, f_xy(0,0)=2, f_yy(0,0)=2;