Suponha que
tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de
. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
c)
c)
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função
que possui derivadas parciais de segunda ordem contínuas em todos os lugares, e sabemos que a origem
é um ponto crítico da função. O conteúdo que vamos usar aqui é o Teste da Derivada Segunda, que nos ajuda a determinar o tipo de ponto crítico (se é um ponto de mínimo, máximo ou ponto de sela). Para resolver isso, precisamos calcular o discriminante
usando as segundas derivadas parciais fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as derivadas parciais fornecidas no ponto
:
O próximo passo é calcular o discriminante
, que é dado pela fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, vamos analisar o valor de
e
para determinar o tipo de ponto crítico:
- Se
e : O ponto é um mínimo local. - Se
e : O ponto é um máximo local. - Se
: O ponto é um ponto de sela. - Se
: O teste é inconclusivo.
No nosso caso,
e
.
Resposta
A origem
é um ponto de mínimo local para a função
.
Exercícios relacionados
Investigue o caráter das seguintes séries:
Investigue o caráter das seguintes séries:
Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver.
f)
f)
Suponha que
tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas em toda parte e que a origem seja um ponto crítico de
. Decida qual informação (se houver) é fornecida pelo teste da derivada segunda se:
b) ;
b)