Seja a função . Prove que a função tem limite igual a 1 nos pontos com e que tem limite igual a -1 nos pontos . Prove ainda que não tem limite nos pontos .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função definida por partes: para qualquer valor de , é igual a 1 se e igual a -1 se . O exercício pede para provar que:
  1. O limite de é 1 quando nos aproximamos de pontos com .
  2. O limite de é -1 quando nos aproximamos de pontos com .
  3. Não existe limite quando .
Vamos usar o conceito de limite de função para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caso em que . Queremos provar que:
Como depende apenas de e não de , o comportamento da função está totalmente ligado ao valor de .

Passo 3

Para , qualquer ponto próximo a terá também positivo (desde que a distância seja suficientemente pequena). Isso porque estamos nos aproximando de que já é positivo.
Matematicamente, para todo , existe um tal que se , então .
Como nesse intervalo, temos , então:
Isso mostra que o limite é realmente 1.

Passo 4

Agora, vamos para o caso onde . Queremos provar que:
Assim como antes, depende apenas de . Para , qualquer ponto próximo a terá também negativo, se a distância for pequena o suficiente.
Usando a definição de limite, para todo , existe um tal que se , então .
Como nesse intervalo, temos , então:
Isso confirma que o limite é -1.

Passo 5

Por último, vamos analisar o ponto onde . Queremos mostrar que o limite não existe nesse caso:
ã
Para provar que o limite não existe, podemos mostrar que nos aproximando de diferentes direções, obtemos valores diferentes.
  • Se nos aproximarmos de , .
  • Se nos aproximarmos de , .
Como 1 -1, o limite não pode existir nesse ponto.

Resposta

Portanto, a função tem limite igual a 1 nos pontos com , limite igual a -1 nos pontos com , e não possui limite nos pontos .

Exercícios relacionados

Seja o ponto da curva , que esta mais próximo da origem. Podemos afirmar que o produto vale:
(Até 4 pontos)
a)
b) 2
c)
d) 4
e)
Solucione as equações diferenciais ordinárias abaixo como julgar apropriado. Não deixe de indicar o método utilizado.
Determine o valor dos limites, quando existirem:
e) ;
Investigue a continuidade de cada uma das funções abaixo, no ponto :
a) ;