Seja a função
. Prove que a função tem limite igual a 1 nos pontos
com
e que tem limite igual a -1 nos pontos
. Prove ainda que não tem limite nos pontos
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma função definida por partes: para qualquer valor de
,
é igual a 1 se
e igual a -1 se
. O exercício pede para provar que:
- O limite de
é 1 quando nos aproximamos de pontos com . - O limite de
é -1 quando nos aproximamos de pontos com . - Não existe limite quando
.
Vamos usar o conceito de limite de função para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o caso em que
. Queremos provar que:
Como
depende apenas de
e não de
, o comportamento da função está totalmente ligado ao valor de
.
Passo 3
Para
, qualquer ponto próximo a
terá
também positivo (desde que a distância seja suficientemente pequena). Isso porque estamos nos aproximando de
que já é positivo.
Matematicamente, para todo
, existe um
tal que se
, então
.
Como
nesse intervalo, temos
, então:
Isso mostra que o limite é realmente 1.
Passo 4
Agora, vamos para o caso onde
. Queremos provar que:
Assim como antes,
depende apenas de
. Para
, qualquer ponto próximo a
terá
também negativo, se a distância for pequena o suficiente.
Usando a definição de limite, para todo
, existe um
tal que se
, então
.
Como
nesse intervalo, temos
, então:
Isso confirma que o limite é -1.
Passo 5
Por último, vamos analisar o ponto onde
. Queremos mostrar que o limite não existe nesse caso:
Para provar que o limite não existe, podemos mostrar que nos aproximando de diferentes direções, obtemos valores diferentes.
- Se nos aproximarmos de
, . - Se nos aproximarmos de
, .
Como 1
-1, o limite não pode existir nesse ponto.
Resposta
Portanto, a função
tem limite igual a 1 nos pontos
com
, limite igual a -1 nos pontos
com
, e não possui limite nos pontos
.