Investigue a convergência ou não das integrais impróprias.
e
.
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado pede para investigar se a integral imprópria
sobre a região
definida por
e
, converge ou não. Vamos precisar usar conceitos de integrais impróprias e propriedades de funções exponenciais para verificar a convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Ela é limitada por
entre 0 e
, e
entre 0 e 1. Isso significa que para cada valor de
no intervalo [0, 1],
varia de 0 até
.
Passo 3
Vamos reescrever a integral como uma integral iterada. Primeiro, integramos em relação a
de 0 a
, e depois em relação a
de 0 a 1:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral interna, ou seja, a integral de
em relação a
. Para isso, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
, o que implica que
.
Passo 5
Substituindo na integral interna:
Passo 6
Agora, nossa integral original fica:
Vamos separar essa integral em duas partes:
Passo 7
Vamos resolver cada integral separadamente. Para
, usamos a integração por partes:
- Seja
e . - Então,
e .
Aplicando a fórmula:
Avaliado de 0 a 1:
Passo 8
A segunda integral é simples:
Passo 9
Agora, juntando os resultados:
Como obtivemos um valor finito, a integral imprópria converge.
Resposta
A integral imprópria converge e seu valor é
.