Investigue a convergência ou não das integrais impróprias.
integral duplaD e^x / y d x d y, D: 0 <= x <= y^2 e 0 <= y <= 1.

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para investigar se a integral imprópria
integral duplaD e^x / y , dx , dy,
sobre a região definida por e , converge ou não. Vamos precisar usar conceitos de integrais impróprias e propriedades de funções exponenciais para verificar a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela é limitada por entre 0 e , e entre 0 e 1. Isso significa que para cada valor de no intervalo [0, 1], varia de 0 até .

Passo 3

Vamos reescrever a integral como uma integral iterada. Primeiro, integramos em relação a integral0^1 ( integral0^y^2 e^x / y , dx ) dy de 0 a , e depois em relação a de 0 a 1:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral interna, ou seja, a integral de em relação a . Para isso, fazemos uma substituição simples. Seja , então , o que implica que .

Passo 5

Substituindo na integral interna:
integral0^y^2 e^x / y , dx = y integral0^y e^u , du = y [ e^u ]0^y = y ( e^y - 1 )

Passo 6

Agora, nossa integral original fica:
integral0^1 y ( e^y - 1 ) dy
Vamos separar essa integral em duas partes:
integral0^1 y e^y , dy - integral0^1 y , dy

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente. Para integral u , dv = u v - integral v , du = y e^y - integral e^y dy = y e^y - e^y , usamos a integração por partes:
  • Seja (1 cdot e^1 - e^1) - (0 - e^0) = (e - e) - (-1) = 1 e .
  • Então, e .
    Aplicando a fórmula:
Avaliado de 0 a 1:

Passo 8

A segunda integral é simples:
integral0^1 y , dy = [ y^22 ]0^1 = 12 - 0 = 12

Passo 9

Agora, juntando os resultados:
1 - 12 = 12
Como obtivemos um valor finito, a integral imprópria converge.

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é .

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