Investigue a convergência ou não das integrais impróprias.
integral duplaD d x d y1+x^2+y^2, D: x^2+y^2 >= 1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral imprópria dupla:
integral duplaD dx, dy1 + x^2 + y^2,
onde a região é definida por . O conteúdo da matéria aqui envolve cálculo de integrais impróprias e uso de coordenadas polares para facilitar a resolução. Vamos precisar transformar a integral para coordenadas polares e analisar a convergência dela.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a integral para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, integral0^2pi integral1^infty r, dr, dtheta1 + r^2 e , e o elemento de área vira . A expressão se torna . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos separar as integrais. A parte que envolve integral0^2pi dtheta = 2pi é fácil, pois vai de 0 a 2pi integral1^infty r1 + r^2 dr :
Então, nossa integral fica:

Passo 4

Vamos focar na integral que está faltando:
integral1^infty r1 + r^2 dr
Para resolver essa integral, usaremos a substituição integral r1 + r^2 dr = 12 integral duu = 12 ln|u| + C = 12 ln(1 + r^2) + C . Então, , ou seja, .
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 1 a 12 [ ln(1 + r^2) ]1^infty = 12 ( limr to infty ln(1 + r^2) - ln(2) ) :
Quando tende ao infinito, também tende ao infinito. Portanto, a integral diverge.

Resposta

A integral imprópria diverge, ou seja, não converge.

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