Investigue a convergência ou não das integrais impróprias.
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma integral imprópria dupla:
onde a região
é definida por
. O conteúdo da matéria aqui envolve cálculo de integrais impróprias e uso de coordenadas polares para facilitar a resolução. Vamos precisar transformar a integral para coordenadas polares e analisar a convergência dela.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a integral para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares,
e
, e o elemento de área
vira
. A expressão
se torna
. Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos separar as integrais. A parte que envolve
é fácil, pois vai de 0 a
:
Então, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos focar na integral que está faltando:
Para resolver essa integral, usaremos a substituição
. Então,
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, vamos aplicar os limites de integração de 1 a
:
Quando
tende ao infinito,
também tende ao infinito. Portanto, a integral diverge.
Resposta
A integral imprópria
diverge, ou seja, não converge.