Mostre que: 1 + i^5 + 2 i^10 - 3 i^13 = -1 - 2 i

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação . Aqui, estamos lidando com números complexos, especificamente com a unidade imaginária , onde . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular potências de e simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que tem um ciclo de 4 quando elevado a potências:
E esse ciclo se repete a cada 4 potências.

Passo 3

Vamos calcular . Como o ciclo se repete a cada 4, dividimos o expoente por 4 e usamos o resto:
Então, .

Passo 4

Agora, calculamos :
Então, .

Passo 5

Em seguida, calculamos :
Então, .

Passo 6

Agora que temos todas as potências calculadas, substituímos de volta na expressão original:

Passo 7

Simplificamos os termos:

Resposta

A express��o simplifica-se para .

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