Use a mudança de coordenadas u = 1/2 * y, v = x - 2 * y e calcule a integral dupla da função
f(x, y) = raiz(x - 2y) + (y^2 / 4)
sobre a região D do plano x y delimitada pelo triângulo de vértices (0,0), (4,0) e (4,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla da função sobre uma região triangular no plano com vértices em , e . Para facilitar a conta, vamos usar uma mudança de coordenadas: e . Vamos precisar entender como fazer essa mudança de coordenadas e ajustar os limites da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a mudança de variáveis que vamos usar. Temos:
Precisamos expressar e em termos de e . Da primeira equação, temos . Substituindo na segunda:
Então, as transformações são:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz jacobiana, que nos ajuda a mudar as variáveis na integral. A matriz jacobiana é:
O determinante é:
Como o determinante não pode ser negativo na mudança de variáveis para a área, usamos o valor absoluto:

Passo 4

Agora, precisamos transformar a região de integração para as novas coordenadas e . Vamos identificar os vértices do triângulo em termos de e :
  1. Para : e
  2. Para : e
  3. Para : e
Então, a nova região em coordenadas e é um triângulo com vértices em , e .

Passo 5

Vamos agora reescrever a função em termos de e :
Substituindo e :

Passo 6

Agora, montamos a integral dupla na nova coordenada. Lembrando que a área elementar se transforma em :
Vamos definir os limites de integração. Observando a região , varia de 0 a 1 e, para cada , varia de 0 a . Contudo, reavaliando os vértices, percebemos que varia de 0 a 4 e, para cada , varia de 0 a .

Passo 7

Vamos organizar os limites corretamente. A região parece ter de 0 a 1 e de 0 a . Então, a integral fica:

Passo 8

Vamos primeiro integrar em relação a :
E
Então, a integral dupla fica:

Passo 9

Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar:
Simplificando mais:
Multiplicando pelos 2 que estavam fora:

Resposta

A integral dupla vale .

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