Use a mudança de coordenadas
e calcule a integral dupla da função
sobre a região
do plano
delimitada pelo triângulo de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla da função
sobre uma região triangular no plano
com vértices em
,
e
. Para facilitar a conta, vamos usar uma mudança de coordenadas:
e
. Vamos precisar entender como fazer essa mudança de coordenadas e ajustar os limites da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a mudança de variáveis que vamos usar. Temos:
Precisamos expressar
e
em termos de
e
. Da primeira equação, temos
. Substituindo na segunda:
Então, as transformações são:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante da matriz jacobiana, que nos ajuda a mudar as variáveis na integral. A matriz jacobiana
é:
O determinante é:
Como o determinante não pode ser negativo na mudança de variáveis para a área, usamos o valor absoluto:
Passo 4
Agora, precisamos transformar a região de integração
para as novas coordenadas
e
. Vamos identificar os vértices do triângulo
em termos de
e
:
- Para
: e - Para
: e - Para
: e
Então, a nova região
em coordenadas
e
é um triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 5
Vamos agora reescrever a função
em termos de
e
:
Substituindo
e
:
Passo 6
Agora, montamos a integral dupla na nova coordenada. Lembrando que a área elementar
se transforma em
:
Vamos definir os limites de integração. Observando a região
,
varia de 0 a 1 e, para cada
,
varia de 0 a
. Contudo, reavaliando os vértices, percebemos que
varia de 0 a 4 e, para cada
,
varia de 0 a
.
Passo 7
Vamos organizar os limites corretamente. A região
parece ter
de 0 a 1 e
de 0 a
. Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos primeiro integrar em relação a
:
E
Então, a integral dupla fica:
Passo 9
Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar:
Simplificando mais:
Multiplicando pelos 2 que estavam fora:
Resposta
A integral dupla vale
.