Investigue a convergência das seguintes séries:
sumn=1^+infty ln (1cos (1 / n)) cdot R.: convergente

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para investigar se a série sumn=1^+infty ln (1cos (1 / n)) converge ou não. Vamos usar conhecimentos sobre séries infinitas e alguns conceitos de análise matemática para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a expressão dentro da série: ln (1cos (1 / n)). Podemos reescrever isso como -ln(cos(1/n)). Assim, a série fica:
sumn=1^+infty -ln(cos(1/n))

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de cos(1/n) quando n cresce, ou seja, quando n tende ao infinito. Sabemos que para valores pequenos de x, cos(x) pode ser aproximado por sua série de Taylor:
cos(x) approx 1 - x^22
Como 1/n fica bem pequeno quando n aumenta, podemos usar essa aproximação:
cos(1/n) approx 1 - 12n^2

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão do logaritmo:
-ln(cos(1/n)) approx -ln(1 - 12n^2)
Para valores pequenos de y, sabemos que ln(1 - y) approx -y. Aplicando isso:
-ln(1 - 12n^2) approx 12n^2

Passo 5

Então, a série original se comporta aproximadamente como:
sumn=1^+infty 12n^2
Sabemos que a série sumn=1^+infty 1n^2 é uma série p com p = 2, que é conhecida por ser convergente.

Passo 6

Como nossa série original se comporta como uma série p convergente, podemos concluir que ela também converge.

Resposta

A série sumn=1^+infty ln (1cos (1 / n)) é convergente.

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