Investigue a convergência das seguintes séries:
R.: convergente
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para investigar se a série
converge ou não. Vamos usar conhecimentos sobre séries infinitas e alguns conceitos de análise matemática para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a expressão dentro da série:
. Podemos reescrever isso como
. Assim, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
cresce, ou seja, quando
tende ao infinito. Sabemos que para valores pequenos de
,
pode ser aproximado por sua série de Taylor:
Como
fica bem pequeno quando
aumenta, podemos usar essa aproximação:
Passo 4
Substituindo essa aproximação na expressão do logaritmo:
Para valores pequenos de
, sabemos que
. Aplicando isso:
Passo 5
Então, a série original se comporta aproximadamente como:
Sabemos que a série
é uma série p com
, que é conhecida por ser convergente.
Passo 6
Como nossa série original se comporta como uma série p convergente, podemos concluir que ela também converge.
Resposta
A série
é convergente.
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é contínua em
, se, e somente se duas condições se verificam:
5. Com base nas regras acima, mostre que qualquer polinômio de grau é contínuo em
; ou seja
.
5. Com base nas regras acima, mostre que qualquer polinômio de grau
Suponha que a série
diverge e que
. Classifique cada afirmação abaixo em falsa ou verdadeira. Se for verdadeira, justifique adequadamente; se for falsa, justifique através de um exemplo.
d. é sempre divergente.
d.
Os organizadores de um show da Xuxa estimam que,
horas após os portões serem abertos às 9 horas, o público estará entrando à taxa de
pessoas por hora. Escreva uma expressão para o número de pessoas que entrarão no show entre 11 e 13 horas.
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. Faça o mesmo para o
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