Investigue a convergência das seguintes séries:
R.: convergente
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para investigar se a série
converge ou não. Vamos usar conhecimentos sobre séries infinitas e alguns conceitos de análise matemática para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a expressão dentro da série:
. Podemos reescrever isso como
. Assim, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
cresce, ou seja, quando
tende ao infinito. Sabemos que para valores pequenos de
,
pode ser aproximado por sua série de Taylor:
Como
fica bem pequeno quando
aumenta, podemos usar essa aproximação:
Passo 4
Substituindo essa aproximação na expressão do logaritmo:
Para valores pequenos de
, sabemos que
. Aplicando isso:
Passo 5
Então, a série original se comporta aproximadamente como:
Sabemos que a série
é uma série p com
, que é conhecida por ser convergente.
Passo 6
Como nossa série original se comporta como uma série p convergente, podemos concluir que ela também converge.
Resposta
A série
é convergente.