Investigue a convergência das seguintes séries:
R.: convergente

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para investigar se a série converge ou não. Vamos usar conhecimentos sobre séries infinitas e alguns conceitos de análise matemática para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a expressão dentro da série: . Podemos reescrever isso como . Assim, a série fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de quando cresce, ou seja, quando tende ao infinito. Sabemos que para valores pequenos de , pode ser aproximado por sua série de Taylor:
Como fica bem pequeno quando aumenta, podemos usar essa aproximação:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão do logaritmo:
Para valores pequenos de , sabemos que . Aplicando isso:

Passo 5

Então, a série original se comporta aproximadamente como:
Sabemos que a série é uma série p com , que é conhecida por ser convergente.

Passo 6

Como nossa série original se comporta como uma série p convergente, podemos concluir que ela também converge.

Resposta

A série é convergente.

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