Seja
a função definida em
por:
, para
, e
, para
.
©
é derivável em
?
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se a função
, que é definida por
para
e
para
, é derivável em
. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e derivabilidade de funções em pontos específicos. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser derivável em um ponto e como calcular as derivadas laterais nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em um ponto. Uma função é derivável em
se o limite da taxa de variação da função, quando
se aproxima de
pela esquerda e pela direita, existe e é igual. Em termos matemáticos:
Ou seja, precisamos calcular as derivadas laterais e ver se elas são iguais.
Passo 3
Vamos calcular a derivada pela esquerda de
:
Para
,
.
A derivada de
pela esquerda é:
Agora, vamos calcular a derivada pela direita de
:
Para
,
.
A derivada de
pela direita é:
Aqui, o limite de
quando
se aproxima de
pela direita é
, ou seja, não existe um valor finito.
Passo 4
Comparando as derivadas laterais:
Como as derivadas laterais não são iguais (na verdade, a derivada pela direita não existe), a função
não é derivável em
.
Resposta
A função
não é derivável em
.
Exercícios relacionados
Seja
a função dada por
.
(a) Existe ?
(a) Existe
Seja
a função definida em
por:
, para
, e
, para
.
(b) Existem as derivadas e
?
(b) Existem as derivadas
Investigue a derivabilidade da função dada no ponto indicado.
(b)
(b)
Investigue a derivabilidade da função dada no ponto indicado.
©
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