Seja a função definida em por: , para , e , para .
© é derivável em ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para verificar se a função , que é definida por para e para , é derivável em . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas e derivabilidade de funções em pontos específicos. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma função ser derivável em um ponto e como calcular as derivadas laterais nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em um ponto. Uma função é derivável em se o limite da taxa de variação da função, quando se aproxima de pela esquerda e pela direita, existe e é igual. Em termos matemáticos:
Ou seja, precisamos calcular as derivadas laterais e ver se elas são iguais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada pela esquerda de :
Para , .
A derivada de pela esquerda é:
Agora, vamos calcular a derivada pela direita de :
Para , .
A derivada de pela direita é:
Aqui, o limite de quando se aproxima de pela direita é , ou seja, não existe um valor finito.

Passo 4

Comparando as derivadas laterais:
ã
Como as derivadas laterais não são iguais (na verdade, a derivada pela direita não existe), a função não é derivável em .

Resposta

A função não é derivável em .

Exercícios relacionados

Seja a função dada por .
(a) Existe ?
Seja a função definida em por: , para , e , para .
(b) Existem as derivadas e ?
Investigue a derivabilidade da função dada no ponto indicado.
(b)
Investigue a derivabilidade da função dada no ponto indicado.
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