Seja
a função dada por
.
(a) Existe
?
(a) Existe
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa descobrir se a derivada dela em
existe. Isso faz parte do conteúdo de cálculo, mais especificamente de derivadas e diferenciabilidade de funções. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta perto de
e calcular os limites das taxas de variação à esquerda e à direita desse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. O valor absoluto de
(
) muda a expressão dependendo se
é positivo ou negativo.
-
Se
:
, então . -
Se
:
, então .
Então, a função fica assim:
Passo 3
Agora, para verificar se a derivada em
existe, precisamos calcular os limites das taxas de variação à esquerda e à direita de 0.
-
Derivada pela direita (
se aproxima de 0 por valores positivos): -
Derivada pela esquerda (
se aproxima de 0 por valores negativos):
Passo 4
Comparando as derivadas à direita e à esquerda, vemos que:
Como os limites são diferentes (
), a derivada de
em
não existe.
Resposta
Não,
não existe.
Exercícios relacionados
Seja
a função definida em
por:
, para
, e
, para
.
(b) Existem as derivadas e
?
(b) Existem as derivadas
Seja
a função definida em
por:
, para
, e
, para
.
(a) Calcule
(a) Calcule
Seja
a função definida em
por:
, para
, e
, para
.
© é derivável em
?
©
Investigue a derivabilidade da função dada no ponto indicado.
(b)
(b)