Seja f: R -> R a função dada por f(x) = |x| + x.
(a) Existe f'(0) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa descobrir se a derivada dela em existe. Isso faz parte do conteúdo de cálculo, mais especificamente de derivadas e diferenciabilidade de funções. Para resolver, vamos analisar como a função se comporta perto de e calcular os limites das taxas de variação à esquerda e à direita desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . O valor absoluto de ( ) muda a expressão dependendo se é positivo ou negativo.
  • Se :
    , então .
  • Se :
    , então .
Então, a função fica assim:

Passo 3

Agora, para verificar se a derivada em existe, precisamos calcular os limites das taxas de variação à esquerda e à direita de 0.
  • Derivada pela direita ( se aproxima de 0 por valores positivos):
  • Derivada pela esquerda ( se aproxima de 0 por valores negativos):

Passo 4

Comparando as derivadas à direita e à esquerda, vemos que:
Como os limites são diferentes ( ), a derivada de em não existe.

Resposta

Não, não existe.

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