Para produzir um canhăo que deve lançar uma bola de tênis ( 50 g ), até uma altura de 30 m , um estudante utiliza um cano de PVC de 20 cm . Considerando que uma mola possa ser comprimida 15 cm dentro desse cano, qual deve ser a constante elástica đamola? Ignore a resistência do ar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um canhão que precisa lançar uma bola de tênis de 50 gramas até uma altura de 30 metros. O cano desse canhão é feito de PVC e tem 20 centímetros de comprimento. A mola que vai empurrar a bola pode ser comprimida até 15 centímetros dentro do cano. Nosso objetivo aqui é descobrir qual deve ser a constante elástica dessa mola. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados à energia potencial elástica e à energia potencial gravitacional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Quando a mola é comprimida, ela armazena energia potencial elástica. Essa energia é transferida para a bola de tênis, fazendo com que ela suba até a altura desejada. Precisamos igualar a energia armazenada na mola com a energia que a bola terá no ponto mais alto da sua trajetória.
A fórmula para a energia potencial elástica é:
Onde:
- $ k $ é a constante elástica da mola que queremos encontrar.
- $ x $ é a compressão da mola (0,15 m).
A energia potencial gravitacional, que é a energia que a bola terá no ponto mais alto, é dada por:
Onde:
- $ m $ é a massa da bola (0,05 kg).
- $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,8 m/s²).
- $ h $ é a altura que a bola deve alcançar (30 m).
Passo 3
Agora, vamos igualar as duas energias, já que toda a energia elástica da mola será convertida em energia gravitacional da bola:
Queremos encontrar $ k $, então vamos isolar essa variável na equação. Primeiro, multiplicamos os dois lados por 2 para eliminar a fração:
Agora, dividimos ambos os lados por $ x^2 $:
Passo 4
Vamos substituir os valores na equação:
Primeiro, calculamos o numerador:
Agora, o denominador:
Passo 5
Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
Resposta
A constante elástica da mola deve ser aproximadamente $ 1307 , N/m $.