Para produzir um canhăo que deve lançar uma bola de tênis ( 50 g ), até uma altura de 30 m , um estudante utiliza um cano de PVC de 20 cm . Considerando que uma mola possa ser comprimida 15 cm dentro desse cano, qual deve ser a constante elástica đamola? Ignore a resistência do ar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um canhão que precisa lançar uma bola de tênis de 50 gramas até uma altura de 30 metros. O cano desse canhão é feito de PVC e tem 20 centímetros de comprimento. A mola que vai empurrar a bola pode ser comprimida até 15 centímetros dentro do cano. Nosso objetivo aqui é descobrir qual deve ser a constante elástica dessa mola. Para resolver isso, vamos usar conceitos de física relacionados à energia potencial elástica e à energia potencial gravitacional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Quando a mola é comprimida, ela armazena energia potencial elástica. Essa energia é transferida para a bola de tênis, fazendo com que ela suba até a altura desejada. Precisamos igualar a energia armazenada na mola com a energia que a bola terá no ponto mais alto da sua trajetória.
A fórmula para a energia potencial elástica é:
Eelástica = 12 k x^2 á
Onde:
  • $ k $ é a constante elástica da mola que queremos encontrar.
  • $ x $ é a compressão da mola (0,15 m).
A energia potencial gravitacional, que é a energia que a bola terá no ponto mais alto, é dada por:
k
Onde:
  • $ m $ é a massa da bola (0,05 kg).
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,8 m/s²).
  • $ h $ é a altura que a bola deve alcançar (30 m).

Passo 3

Agora, vamos igualar as duas energias, já que toda a energia elástica da mola será convertida em energia gravitacional da bola:
12 k x^2 = m g h
Queremos encontrar $ k $, então vamos isolar essa variável na equação. Primeiro, multiplicamos os dois lados por 2 para eliminar a fração:
k
Agora, dividimos ambos os lados por $ x^2 $:
k x^2 = 2 m g h

Passo 4

Vamos substituir os valores na equação:
k = 2 times 0,05 , kg times 9,8 , m/s^2 times 30 , m(0,15 , m)^2
Primeiro, calculamos o numerador:
2 times 0,05 = 0,1
0,1 times 9,8 = 0,98
0,98 times 30 = 29,4
Agora, o denominador:
(0,15)^2 = 0,0225

Passo 5

Agora, dividimos o numerador pelo denominador:
k = 29,40,0225 approx 1306,67 , N/m

Resposta

A constante elástica da mola deve ser aproximadamente $ 1307 , N/m $.

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