(ITA - SP) Considere o sistema de equações
Sl 1x+27y^2+8z^3=3 4x+81y^2+40z^3=10 2x+54y^2+24z^3=7
Se (x, y, z) é uma solução real de S, então determine |x|+|y|+|z|.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema que a gente tem aqui. A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas: , e . A matéria aqui envolve sistemas de equações não lineares, e vamos precisar usar um pouco de álgebra para resolver. Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem todas as equações e, no final, somar os valores absolutos dessas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a notação para facilitar os cálculos. Vamos chamar:
a = 1x, b = 27y^2, c = 8z^3
Assim, o sistema de equações fica:
a + b + c = 3 4a + 81 cdot b27 + 40 cdot c8 = 10 2a + 54 cdot b27 + 24 cdot c8 = 7
Vamos simplificar essas frações:
a + b + c = 3 4a + 3b + 5c = 10 2a + 2b + 3c = 7

Passo 3

Agora temos um sistema linear mais simples:
a + b + c = 3 (1) 4a + 3b + 5c = 10 (2) 2a + 2b + 3c = 7 (3)
Vamos resolver esse sistema usando o método da eliminação. Primeiro, vamos eliminar uma variável. Vamos eliminar 4a + 4b + 4c = 12 (1a) entre as equações (1) e (2), e entre as equações (1) e (3).
Multiplicando a equação (1) por 4:
(4a + 4b + 4c) - (4a + 3b + 5c) = 12 - 10 b - c = 2 (4)
Subtraindo a equação (2) da equação (1a):
2a + 2b + 2c = 6 (1b)
Agora, multiplicando a equação (1) por 2:
(2a + 2b + 2c) - (2a + 2b + 3c) = 6 - 7 -c = -1 c = 1 (5)
Subtraindo a equação (3) da equação (1b):

Passo 4

Agora que sabemos que b - 1 = 2 b = 3 (6) , podemos substituir esse valor na equação (4) para encontrar a + 3 + 1 = 3 a + 4 = 3 a = -1 (7) :
Com e , podemos substituir esses valores na equação (1) para encontrar :

Passo 5

Agora que temos os valores de a = 1x = -1 b = 27y^2 = 3 c = 8z^3 = 1 , 1x = -1 x = -1 e 27y^2 = 3 y^2 = 273 y^2 = 9 y = pm 3 , vamos lembrar das definições que fizemos no Passo 2:
8z^3 = 1 z^3 = 8 z = 2
Vamos resolver cada uma dessas equações para encontrar , e .
Para :
Para :
Como estamos interessados na soma dos valores absolutos, não importa o sinal de .
Para :

Resposta

Os valores das variáveis são |x| + |y| + |z| = |-1| + |3| + |2| = 1 + 3 + 2 = 6 , e . Portanto, a soma dos valores absolutos é:
Finalizando, .

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