Se (x, y, z) é uma solução real de S, então determine |x|+|y|+|z|.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema que a gente tem aqui. A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas: , e . A matéria aqui envolve sistemas de equações não lineares, e vamos precisar usar um pouco de álgebra para resolver. Nosso objetivo é encontrar os valores de , e que satisfazem todas as equações e, no final, somar os valores absolutos dessas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a notação para facilitar os cálculos. Vamos chamar:
a = 1x, b = 27y^2, c = 8z^3
Assim, o sistema de equações fica:
a + b + c = 3 4a + 81 cdot b27 + 40 cdot c8 = 10 2a + 54 cdot b27 + 24 cdot c8 = 7
Vamos simplificar essas frações:
a + b + c = 3 4a + 3b + 5c = 10 2a + 2b + 3c = 7
Passo 3
Agora temos um sistema linear mais simples:
a + b + c = 3 (1) 4a + 3b + 5c = 10 (2) 2a + 2b + 3c = 7 (3)
Vamos resolver esse sistema usando o método da eliminação. Primeiro, vamos eliminar uma variável. Vamos eliminar 4a + 4b + 4c = 12 (1a) entre as equações (1) e (2), e entre as equações (1) e (3).
Agora que sabemos que b - 1 = 2 b = 3 (6) , podemos substituir esse valor na equação (4) para encontrar a + 3 + 1 = 3 a + 4 = 3 a = -1 (7) :
Com e , podemos substituir esses valores na equação (1) para encontrar :
Passo 5
Agora que temos os valores de a = 1x = -1 b = 27y^2 = 3 c = 8z^3 = 1 , 1x = -1 x = -1 e 27y^2 = 3 y^2 = 273 y^2 = 9 y = pm 3 , vamos lembrar das definições que fizemos no Passo 2:
8z^3 = 1 z^3 = 8 z = 2
Vamos resolver cada uma dessas equações para encontrar , e .
Para :
Para :
Como estamos interessados na soma dos valores absolutos, não importa o sinal de .
Para :
Resposta
Os valores das variáveis são |x| + |y| + |z| = |-1| + |3| + |2| = 1 + 3 + 2 = 6 , e . Portanto, a soma dos valores absolutos é: