(ITA-SP) Se det(ccca & b & c p & q & r x & y & z)=-1, então qual é o valor do determinante
det(ccc -2 a & -2 b & -2 c 2 p+x & 2 q+y & 2 r+z 3 x & 3 y & 3 z ) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz 3x3 com valores a, b, c, p, q, r, x, y, z, e sabemos que o determinante dessa matriz é -1. A pergunta é: qual o determinante de uma outra matriz que é formada por múltiplos e combinações desses mesmos valores? Vamos usar os conhecimentos de determinantes e propriedades de operações com linhas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz original e a nova matriz que queremos encontrar o determinante:
Matriz original:
a & b & c p & q & r x & y & z
Determinante da matriz original:
det(M) = -1
Nova matriz:
-2a & -2b & -2c 2p+x & 2q+y & 2r+z 3x & 3y & 3z

Passo 3

Vamos observar como a nova matriz foi construída a partir da original. Na primeira linha, cada elemento foi multiplicado por -2. Na segunda linha, cada elemento é 2 vezes a segunda linha original mais a terceira linha original. E na terceira linha, cada elemento é multiplicado por 3.
A propriedade que vamos usar aqui é a da linearidade das linhas no determinante. Isso significa que podemos separar a segunda linha em duas partes e calcular o determinante separadamente.

Passo 4

Vamos decompor a segunda linha da nova matriz:
2 times Linha 2 original + Linha 3 original
Então, a nova matriz pode ser vista como uma combinação linear das linhas da matriz original.

Passo 5

Agora, aplicando as propriedades dos determinantes:
  1. Multiplicar uma linha por um escalar multiplica o determinante por esse escalar.
  2. Se uma linha é a soma de duas linhas, o determinante é a soma dos determinantes das matrizes resultantes.
Aplicando isso à nossa nova matriz:
  • A primeira linha multiplicada por -2: multiplicamos o determinante original por -2.
  • A segunda linha é 2 vezes a segunda linha original mais a terceira linha original: o determinante será 2 vezes o determinante original mais o determinante da matriz onde a segunda linha é a terceira linha original.
  • A terceira linha multiplicada por 3: multiplicamos o resultado anterior por 3.

Passo 6

Calculando passo a passo:
  1. Multiplicando a primeira linha por -2:
    -2 times det(M) = -2 times (-1) = 2
  2. A segunda parte é:
    2 times det(M) + det( a & b & c x & y & z x & y & z )
    Mas note que a segunda matriz tem duas linhas iguais, então seu determinante é 0. Portanto:
    2 times (-1) + 0 = -2
  3. Multiplicando pelo 3 da terceira linha:
    3 times (-2) = -6

Resposta

O determinante da nova matriz é -6.

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