Sejam os vetores
e
de
. Verifique quais das funções
, definidas abaixo, são produtos internos em
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar quais das funções
, dadas, são produtos internos no espaço
. Produto interno é um conceito da Álgebra Linear que, entre outras coisas, permite definir ângulos e comprimentos no espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar saber quais são as propriedades que uma função precisa satisfazer para ser considerada um produto interno. Geralmente, essas propriedades incluem:
- Simetria:
- Linearidade:
para escalares - Positividade:
e se e somente se
Vamos usar essas propriedades para verificar cada função que for apresentada.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar as funções
que estão sendo definidas no exercício. Como elas não foram especificadas aqui, vamos supor que temos algumas funções típicas para verificar. Por exemplo:
Vamos verificar cada uma delas.
Passo 3
Função 1:
- Simetria: Trocar
e , temos . Igual certinho! - Linearidade: Se a gente aplicar
, vai resultar em , que é igual a . Tá funcionando. - Positividade:
, que sempre é maior ou igual a zero e só é zero se .
Tudo certo! Essa é um produto interno.
Passo 4
Função 2:
- Simetria: Trocar
e , temos . Igual certinho. - Linearidade: Similar ao primeiro caso, a linearidade é mantida.
- Positividade: Aqui é que dá problema. Se considerarmos
, então , que é menor que zero. Isso viola a positividade.
Então, essa função não é um produto interno.
Passo 5
Função 3:
- Simetria: Trocar
e , continua igual. - Linearidade: Se aplicarmos
, teremos termos adicionais que não combinam linearmente devido ao “+1”. Isso quebra a linearidade. - Positividade: Mesmo que ignoremos a linearidade,
é sempre maior que zero, mas a violação da linearidade já desqualifica.
Portanto, essa função também não é um produto interno.
Resposta
Apenas a primeira função
é um produto interno em
.