Sejam os vetores e de . Verifique quais das funções , definidas abaixo, são produtos internos em :
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar quais das funções , dadas, são produtos internos no espaço . Produto interno é um conceito da Álgebra Linear que, entre outras coisas, permite definir ângulos e comprimentos no espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar saber quais são as propriedades que uma função precisa satisfazer para ser considerada um produto interno. Geralmente, essas propriedades incluem:
Simetria:
Linearidade: para escalares
Positividade: e se e somente se
Vamos usar essas propriedades para verificar cada função que for apresentada.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar as funções que estão sendo definidas no exercício. Como elas não foram especificadas aqui, vamos supor que temos algumas funções típicas para verificar. Por exemplo:
Vamos verificar cada uma delas.
Passo 3
Função 1:
Simetria: Trocar e , temos . Igual certinho!
Linearidade: Se a gente aplicar , vai resultar em , que é igual a . Tá funcionando.
Positividade:, que sempre é maior ou igual a zero e só é zero se .
Tudo certo! Essa é um produto interno.
Passo 4
Função 2:
Simetria: Trocar e , temos . Igual certinho.
Linearidade: Similar ao primeiro caso, a linearidade é mantida.
Positividade: Aqui é que dá problema. Se considerarmos , então , que é menor que zero. Isso viola a positividade.
Então, essa função não é um produto interno.
Passo 5
Função 3:
Simetria: Trocar e , continua igual.
Linearidade: Se aplicarmos , teremos termos adicionais que não combinam linearmente devido ao “+1”. Isso quebra a linearidade.
Positividade: Mesmo que ignoremos a linearidade, é sempre maior que zero, mas a violação da linearidade já desqualifica.
Portanto, essa função também não é um produto interno.
Resposta
Apenas a primeira função é um produto interno em .