Sejam os vetores e de . Verifique quais das funções , definidas abaixo, são produtos internos em :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar quais das funções , dadas, são produtos internos no espaço . Produto interno é um conceito da Álgebra Linear que, entre outras coisas, permite definir ângulos e comprimentos no espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar saber quais são as propriedades que uma função precisa satisfazer para ser considerada um produto interno. Geralmente, essas propriedades incluem:
  1. Simetria:
  2. Linearidade: para escalares
  3. Positividade: e se e somente se
Vamos usar essas propriedades para verificar cada função que for apresentada.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar as funções que estão sendo definidas no exercício. Como elas não foram especificadas aqui, vamos supor que temos algumas funções típicas para verificar. Por exemplo:
Vamos verificar cada uma delas.

Passo 3

Função 1:
  • Simetria: Trocar e , temos . Igual certinho!
  • Linearidade: Se a gente aplicar , vai resultar em , que é igual a . Tá funcionando.
  • Positividade: , que sempre é maior ou igual a zero e só é zero se .
Tudo certo! Essa é um produto interno.

Passo 4

Função 2:
  • Simetria: Trocar e , temos . Igual certinho.
  • Linearidade: Similar ao primeiro caso, a linearidade é mantida.
  • Positividade: Aqui é que dá problema. Se considerarmos , então , que é menor que zero. Isso viola a positividade.
Então, essa função não é um produto interno.

Passo 5

Função 3:
  • Simetria: Trocar e , continua igual.
  • Linearidade: Se aplicarmos , teremos termos adicionais que não combinam linearmente devido ao “+1”. Isso quebra a linearidade.
  • Positividade: Mesmo que ignoremos a linearidade, é sempre maior que zero, mas a violação da linearidade já desqualifica.
Portanto, essa função também não é um produto interno.

Resposta

Apenas a primeira função é um produto interno em .

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