Utilizando propriedades do determinante, prove que det(A^*)=8 det(A), onde
A=(llll x & x^2 & x^3 & x^4 y & y^2 & y^3 & y^4 z & z^2 & z^3 & z^4 t & t^2 & t^3 & t^4 ) e A^*=(cccc 8 x & -2 x^2 & 2 x^3 & -2 x^4 4 y & -y^2 & y^3 & -y^4 4 z & -z^2 & z^3 & -z^4 4 t & -t^2 & t^3 & -t^4 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o determinante da matriz é igual a 8 vezes o determinante da matriz . A matéria envolvida aqui são as propriedades dos determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como certas operações nas matrizes afetam o determinante, como por exemplo, multiplicar colunas por constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nas duas matrizes:
A = x & x^2 & x^3 & x^4 y & y^2 & y^3 & y^4 z & z^2 & z^3 & z^4 t & t^2 & t^3 & t^4 , A^* = 8x & -2x^2 & 2x^3 & -2x^4 4y & -y^2 & y^3 & -y^4 4z & -z^2 & z^3 & -z^4 4t & -t^2 & z^3 & -t^4
Observamos que foi construída a partir de modificando cada coluna por um fator diferente. Vamos identificar esses fatores.

Passo 3

Vamos comparar coluna por coluna para ver como se relaciona com :
  • Primeira coluna: em temos e em temos . Isso significa que a primeira coluna de é 8 vezes a primeira coluna de .
  • Segunda coluna: em temos e em temos . Aqui, a segunda coluna de é -2 vezes a segunda coluna de .
  • Terceira coluna: em temos e em temos . Nota: Parece haver um erro na última entrada da terceira coluna de (deveria ser ).
  • Quarta coluna: em temos e em temos . Então, a quarta coluna de é -2 vezes a quarta coluna de .

Passo 4

Sabendo que multiplicar uma coluna de uma matriz por um escalar Fator total = 8 times (-2) times 2 times (-2) multiplica o determinante da matriz original por , vamos calcular o fator total pelo qual o determinante de é alterado para obter .
Multiplicamos cada coluna de por seus respectivos fatores:

Passo 5

Calculando esse fator:
8 times (-2) = -16
-16 times 2 = -32
-32 times (-2) = 64
Portanto, o determinante de é 64 vezes o determinante de .

Resposta

Na verdade, , não 8 vezes. Pode haver um erro no enunciado ou na interpretação das multiplicações das colunas.

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