Utilizando propriedades do determinante, prove que , onde

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o determinante da matriz é igual a 8 vezes o determinante da matriz . A matéria envolvida aqui são as propriedades dos determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como certas operações nas matrizes afetam o determinante, como por exemplo, multiplicar colunas por constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada nas duas matrizes:
Observamos que foi construída a partir de modificando cada coluna por um fator diferente. Vamos identificar esses fatores.

Passo 3

Vamos comparar coluna por coluna para ver como se relaciona com :
  • Primeira coluna: em temos e em temos . Isso significa que a primeira coluna de é 8 vezes a primeira coluna de .
  • Segunda coluna: em temos e em temos . Aqui, a segunda coluna de é -2 vezes a segunda coluna de .
  • Terceira coluna: em temos e em temos . Nota: Parece haver um erro na última entrada da terceira coluna de (deveria ser ).
  • Quarta coluna: em temos e em temos . Então, a quarta coluna de é -2 vezes a quarta coluna de .

Passo 4

Sabendo que multiplicar uma coluna de uma matriz por um escalar multiplica o determinante da matriz original por , vamos calcular o fator total pelo qual o determinante de é alterado para obter .
Multiplicamos cada coluna de por seus respectivos fatores:

Passo 5

Calculando esse fator:
Portanto, o determinante de é 64 vezes o determinante de .

Resposta

Na verdade, , não 8 vezes. Pode haver um erro no enunciado ou na interpretação das multiplicações das colunas.

Exercícios relacionados

Sejam os vetores e de . Verifique quais das funções , definidas abaixo, são produtos internos em :
(a) Sendo e , calcule .
(ITA-SP) Se , então qual é o valor do determinante
Se somarmos 4 a todos os elementos da matriz , cujo determinante é , qual é o determinante da nova matriz?