Se somarmos 4 a todos os elementos da matriz , cujo determinante é D, qual é o determinante da nova matriz?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz de 3x3 e quer descobrir o determinante de uma nova matriz que resulta ao somarmos 4 em cada elemento da . A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre determinantes de matrizes. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o determinante de uma matriz 3x3 e entender como mudanças nos elementos afetam o determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a matriz original A = 1 & 2 & 3 1 & 1 & m 1 & 1 & 1 :
O determinante dessa matriz é dado por .
Passo 3
Agora, vamos criar a nova matriz onde somamos 4 a cada elemento de Anova = 1+4 & 2+4 & 3+4 1+4 & 1+4 & m+4 1+4 & 1+4 & 1+4 = 5 & 6 & 7 5 & 5 & m+4 5 & 5 & 5 . Isso resulta em:
Passo 4
Para encontrar o determinante de det(Anova) = 5 times 5 & m+4 5 & 5 - 6 times 5 & m+4 5 & 5 + 7 times 5 & 5 5 & 5 , vamos calcular 5 & m+4 5 & 5 = 5 times 5 - 5 times (m+4) = 25 - 5m - 20 = 5 - 5m usando a regra de Sarrus para matrizes 3x3:
5 & 5 5 & 5 = 5 times 5 - 5 times 5 = 25 - 25 = 0
Vamos calcular cada menor:
Passo 5
Substituindo esses valores na expressão do determinante: