Se somarmos 4 a todos os elementos da matriz , cujo determinante é , qual é o determinante da nova matriz?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz de 3x3 e quer descobrir o determinante de uma nova matriz que resulta ao somarmos 4 em cada elemento da . A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre determinantes de matrizes. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o determinante de uma matriz 3x3 e entender como mudanças nos elementos afetam o determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a matriz original :
O determinante dessa matriz é dado por .

Passo 3

Agora, vamos criar a nova matriz onde somamos 4 a cada elemento de . Isso resulta em:

Passo 4

Para encontrar o determinante de , vamos calcular usando a regra de Sarrus para matrizes 3x3:
Vamos calcular cada menor:

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão do determinante:

Passo 6

Sabemos que o determinante original . Podemos reescrever em termos de :

Resposta

O determinante da nova matriz é .

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