Se somarmos 4 a todos os elementos da matriz A=(ccc1 & 2 & 3 1 & 1 & m 1 & 1 & 1), cujo determinante é D, qual é o determinante da nova matriz?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz de 3x3 e quer descobrir o determinante de uma nova matriz que resulta ao somarmos 4 em cada elemento da . A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre determinantes de matrizes. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o determinante de uma matriz 3x3 e entender como mudanças nos elementos afetam o determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a matriz original A = 1 & 2 & 3 1 & 1 & m 1 & 1 & 1 :
O determinante dessa matriz é dado por .

Passo 3

Agora, vamos criar a nova matriz onde somamos 4 a cada elemento de Anova = 1+4 & 2+4 & 3+4 1+4 & 1+4 & m+4 1+4 & 1+4 & 1+4 = 5 & 6 & 7 5 & 5 & m+4 5 & 5 & 5 . Isso resulta em:

Passo 4

Para encontrar o determinante de det(Anova) = 5 times 5 & m+4 5 & 5 - 6 times 5 & m+4 5 & 5 + 7 times 5 & 5 5 & 5 , vamos calcular 5 & m+4 5 & 5 = 5 times 5 - 5 times (m+4) = 25 - 5m - 20 = 5 - 5m usando a regra de Sarrus para matrizes 3x3:
5 & 5 5 & 5 = 5 times 5 - 5 times 5 = 25 - 25 = 0
Vamos calcular cada menor:

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão do determinante:
det(Anova) = 5 times (5 - 5m) - 6 times (5 - 5m) + 7 times 0 = 25 - 25m - 30 + 30m + 0 = (-5) + 5m

Passo 6

Sabemos que o determinante original det(Anova) = -5 + 5m = -5(1 - m) = -5D . Podemos reescrever em termos de :

Resposta

O determinante da nova matriz é .

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