Nos items abaixo, estude a posiçâo relativa entre os objetos geométricos dados. No caso de interseçāo nāo vazia, forneça a equação geométrica que descreve tal intersecçāo.
b) A reta r: X=(1,-2,3)+lambda(1,0,-2), lambda in R e o plano pi dado em (1).

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma reta definida por , onde é um número real. E a gente também tem um plano que foi dado na parte (1) do exercício. Nosso objetivo é descobrir a posição relativa entre essa reta e o plano. Ou seja, vamos ver se a reta está totalmente fora do plano, se ela está contida no plano ou se ela corta o plano em um ponto. Se elas se interceptarem, a gente precisa encontrar a equação geométrica desse ponto de interseção. Para resolver isso, a gente vai precisar usar os conceitos de equações paramétricas de retas e a equação geral do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação da reta X = (1, -2, 3) + lambda(1, 0, -2) . Ela está na forma paramétrica:
x = 1 + lambda y = -2 + 0 cdot lambda = -2 z = 3 - 2lambda
Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser encontrado variando o valor de . As coordenadas de um ponto qualquer na reta são:

Passo 3

Agora, vamos lembrar a equação do plano Ax + By + Cz + D = 0 que foi dada na parte (1) do exercício. Geralmente, a equação de um plano é dada na forma:
Onde , , são os coeficientes normais ao plano, e é o termo constante. Para encontrar a interseção entre a reta e o plano, a gente vai substituir os valores de , e da reta na equação do plano.

Passo 4

Substituindo as coordenadas da reta na equação do plano, vamos ter uma equação com x = 1 + lambda y = -2 z = 3 - 2lambda . Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de A(1 + lambda) + B(-2) + C(3 - 2lambda) + D = 0 que satisfaz a condição de que o ponto está no plano.
Então, usando:
Substituímos na equação do plano:

Passo 5

Vamos resolver essa equação para A + Alambda - 2B + 3C - 2Clambda + D = 0 :
(A - 2C)lambda + (A - 2B + 3C + D) = 0
Agrupando os termos com lambda = -(A - 2B + 3C + D)A - 2C e os termos constantes:
Agora, isolamos :
Esse valor de nos dá o parâmetro onde a reta corta o plano.

Passo 6

Com o valor de x = 1 + lambda y = -2 z = 3 - 2lambda encontrado, substituímos de volta nas equações paramétricas da reta para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
Isso nos dá o ponto onde a reta intersecta o plano .

Resposta

A reta e o plano se interceptam no ponto cujas coordenadas são , onde . Portanto, a equação geométrica da interseção é esse ponto específico.

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