Nos items abaixo, estude a posiçâo relativa entre os objetos geométricos dados. No caso de interseçāo nāo vazia, forneça a equação geométrica que descreve tal intersecçāo.
b) A reta
e o plano
dado em (1).
b) A reta
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma reta
definida por
, onde
é um número real. E a gente também tem um plano
que foi dado na parte (1) do exercício. Nosso objetivo é descobrir a posição relativa entre essa reta e o plano. Ou seja, vamos ver se a reta está totalmente fora do plano, se ela está contida no plano ou se ela corta o plano em um ponto. Se elas se interceptarem, a gente precisa encontrar a equação geométrica desse ponto de interseção. Para resolver isso, a gente vai precisar usar os conceitos de equações paramétricas de retas e a equação geral do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação da reta
. Ela está na forma paramétrica:
Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser encontrado variando o valor de
. As coordenadas de um ponto qualquer na reta são:
Passo 3
Agora, vamos lembrar a equação do plano
que foi dada na parte (1) do exercício. Geralmente, a equação de um plano é dada na forma:
Onde
,
,
são os coeficientes normais ao plano, e
é o termo constante. Para encontrar a interseção entre a reta e o plano, a gente vai substituir os valores de
,
e
da reta na equação do plano.
Passo 4
Substituindo as coordenadas da reta na equação do plano, vamos ter uma equação com
. Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
que satisfaz a condição de que o ponto está no plano.
Então, usando:
Substituímos na equação do plano:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para
:
Agrupando os termos com
e os termos constantes:
Agora, isolamos
:
Esse valor de
nos dá o parâmetro onde a reta corta o plano.
Passo 6
Com o valor de
encontrado, substituímos de volta nas equações paramétricas da reta para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
Isso nos dá o ponto onde a reta
intersecta o plano
.
Resposta
A reta
e o plano
se interceptam no ponto cujas coordenadas são
, onde
. Portanto, a equação geométrica da interseção é esse ponto específico.