Nos itens abaixo, calcule as derivadas parciais em relação a x, y e z. f(x, y, z) = x * y^2 + y * z^2 + x^2 * y

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de derivadas parciais. O enunciado nos pede para encontrar as derivadas parciais da função em relação a , e .
Para resolver isso, precisamos entender o que são derivadas parciais. Derivadas parciais mostram como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo as outras constantes. Usaremos as regras básicas de diferenciação para funções de várias variáveis.

Passo 2

Derivada parcial em relação a :
Para encontrar , tratamos e como constantes e derivamos em relação a .
A função é:
Derivando cada termo em relação a :
  1. (já que a derivada de é 1)
  2. (pois não há nesse termo)
  3. (usando a regra do poder)
Somando os resultados:

Passo 3

Derivada parcial em rela��ão a :
Para encontrar , tratamos e como constantes e derivamos em relação a .
A função é:
Derivando cada termo em relação a :
  1. (usando a regra do poder)
  2. (a derivada de é 1)
  3. (a derivada de é 1)
Somando os resultados:

Passo 4

Derivada parcial em relação a :
Para encontrar , tratamos e como constantes e derivamos em relação a .
A função é:
Derivando cada termo em relação a :
  1. (pois não há nesse termo)
  2. (usando a regra do poder)
  3. (pois não há nesse termo)
Somando os resultados:

Resposta

As derivadas parciais da função são:

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