Nos itens abaixo, determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto indicado: z = (2x+y)/(x-2y), (3,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície dada por no ponto (3, 1). Aqui, estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais para determinar o plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. Em termos simples, é um plano que “encosta” na superfície no ponto especificado e tem a mesma direção da superfície naquele ponto. Para encontrar esse plano, precisamos das derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Usando a regra do quociente:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliá-las no ponto (3, 1). Primeiro, vamos calcular nesse ponto:
Então, o ponto completo é (3, 1, 7).

Passo 6

Calculando as derivadas no ponto (3, 1):

Passo 7

Com as derivadas parciais e o ponto, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores:

Passo 8

Vamos simplificar a equação:
Adicionando 7 em ambos os lados:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto (3, 1) é:

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