Nos itens abaixo, determine a equação do plano tangente à superfície dada no ponto indicado:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície dada por
no ponto (3, 1). Aqui, estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com derivadas parciais para determinar o plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um plano tangente. Em termos simples, é um plano que “encosta” na superfície no ponto especificado e tem a mesma direção da superfície naquele ponto. Para encontrar esse plano, precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usando a regra do quociente:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliá-las no ponto (3, 1). Primeiro, vamos calcular
nesse ponto:
Então, o ponto completo é (3, 1, 7).
Passo 6
Calculando as derivadas no ponto (3, 1):
Passo 7
Com as derivadas parciais e o ponto, podemos usar a fórmula do plano tangente:
Substituindo os valores:
Passo 8
Vamos simplificar a equação:
Adicionando 7 em ambos os lados:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto (3, 1) é: