Resolva as integrais definidas:
integral0^pi sen(x) cos ^5(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Esse problema está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição, que nos ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que temos uma função potência de cosseno multiplicada por seno. Isso sugere que podemos usar a substituição . Quando fazemos isso, precisamos também encontrar .

Passo 3

Calculando du = -sin(x) , dx , temos:
-sin(x) , dx = du Rightarrow sin(x) , dx = -du
Note que na nossa integral original temos , que é quase igual a , exceto pelo sinal negativo. Então, podemos rearranjar para:

Passo 4

Agora, vamos trocar as variáveis na integral. Substituindo integral0^pi sin(x) cos^5(x) , dx = integralu(0)^u(pi) -u^5 , du e , a integral fica:
Precisamos agora calcular os novos limites de integração.

Passo 5

Calculando os novos limites:
  • Quando u = cos(0) = 1 :
u = cos(pi) = -1
  • Quando -integral1^-1 u^5 , du :
Então, a integral se torna:

Passo 6

Podemos trocar os limites de integração e eliminar o sinal negativo:
-integral1^-1 u^5 , du = integral-1^1 u^5 , du
Agora, vamos integrar em relação a .

Passo 7

Integrando integral u^5 , du = u^66 + C :
u^66 |-1^1 = 1^66 - (-1)^66 = 16 - 16 = 0
Como estamos calculando uma integral definida, vamos aplicar os limites de a :

Resposta

A integral é igual a .

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