Mostre que as funções z=f(x, y) seguintes satisfazem a equação
x partial zpartial x+y partial zpartial y=0
z=ln 2 y^2x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a função satisfaz a equação . Basicamente, vamos trabalhar com derivadas parciais, que é um assunto de cálculo multivariável. Precisamos calcular as derivadas de em relação a e , e depois verificar se ao substituir na equação dada, ela se iguala a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de z = ln ( 2 y^2x^2 ) em relação a partial zpartial x = 12 y^2x^2 cdot ( -2 y^2x^3 ) = -2 y^2x^3 cdot x^22 y^2 = -1x . Lembra que, quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante.
Aplicando a regra da derivada do logaritmo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de z = ln ( 2 y^2x^2 ) em relação a partial zpartial y = 12 y^2x^2 cdot ( 4 yx^2 ) = 4 yx^2 cdot x^22 y^2 = 2y . Aqui, tratamos como uma constante.
Usando novamente a regra do logaritmo:

Passo 4

Com as derivadas parciais encontradas, vamos substituir na equação original para ver se ela é satisfeita:
x partial zpartial x + y partial zpartial y = x ( -1x ) + y ( 2y ) = -1 + 2 = 1

Resposta

Ops, parece que a equação não está igualando a zero, mas sim a um. Então, na verdade, a função não satisfaz a equação . Talvez haja um erro no enunciado ou na função dada.

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