Nos itens abaixo
a) calcule a integral integral raizx ln (x) d x cdot 23 x^22 ln (x)-49 x^32+C
b) Calcule a integral integral x raiz1+x^2 d x 13(1+x^2)^32+C square 0
0 square 10,25 square 0,5 square 0 square square 1,25 square 1,5 square 1,75 square 2,0
a) & =23 x^32(n(x)-integral 23 x^12 d x>integral 23 x^12 d x=49 x^32 & =23 x^32 ln (x)-49 x^32: 23 x^32 ln (x)-49 x^32+c b) & =integral u^2 d u=(raiz1+x^2)^33>(raiz1+x^2)^33: 13(1+x^2)^32 u=raiz1+x^2 & =13(4+x^2) 32 therefore 13(1+x^2)^32+c

Passo 1

Beleza, vamos dar um gás nesses exercícios de cálculo de integrais! Temos duas partes aqui:
a) Calcular a integral
b) Calcular a integral
Para resolver essas integrais, vamos usar técnicas de cálculo como integração por partes e substituição. Vou te explicar passo a passo como fazer isso.

Passo 2

a) integral raizx ln(x) , dx

Primeiro, vamos organizar a expressão para facilitar a resolução. A integral pode ser escrita como:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, temos uma função que é o produto de u = ln(x) Rightarrow du = 1x , dx e dv = raizx , dx Rightarrow v = integral raizx , dx = integral x^12 , dx = 23x^32 . Para integrar produtos desse tipo, a integração por partes é a melhor estratégia. A fórmula da integração por partes é:
Vamos identificar e :
  • Escolha de : Geralmente, escolhemos como a parte que simplifica quando derivada. Aqui, se encaixa bem porque sua derivada é mais simples.
  • Escolha de : O restante da integral será .

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral raizx ln(x) , dx = ln(x) cdot 23x^32 - integral 23x^32 cdot 1x , dx
Simplificando a segunda integral:
integral 23x^32 cdot 1x , dx = 23 integral x^32 - 1 , dx = 23 integral x^12 , dx
Integramos 23 integral x^12 , dx = 23 cdot 23x^32 = 49x^32 :

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original:
integral raizx ln(x) , dx = 23x^32 ln(x) - 49x^32 + C
Onde é a constante de integração.

Passo 5

b) u = 1 + x^2 Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx

Para essa integral, a técnica de substituição é muito eficaz. Observamos que a expressão dentro da raiz, integral x raiz1 + x^2 , dx = integral raizu cdot du2 = 12 integral u^12 , du , tem uma derivada que está presente na integral.
Vamos escolher uma substituição adequada:
12 cdot 23u^32 = 13u^32 + C
Agora, substituímos na integral:
13(1 + x^2)^32 + C
Integral de :
Agora, voltamos à variável original :

Resposta

a) A integral 23x^32 ln(x) - 49x^32 + C é igual a:
13(1 + x^2)^32 + C
b) A integral é igual a:

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