Para os itens abaixo, considere os seguintes subconjuntos das funções com a operação de soma entre funções e multiplicação por escalar definida de maneira usual. Quais dos conjuntos são espaços vetoriais:

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre conjuntos de funções . A questão quer saber quais desses conjuntos são espaços vetoriais. Vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e ver se os conjuntos dados cumprem as propriedades necessárias para serem considerados como tal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que podem ser somados entre si e multiplicados por escalares (números reais, no caso), obedecendo a certas regras, como a comutatividade da soma, existência de um elemento neutro (vetor zero), entre outras.

Passo 3

Agora, vamos ver quais propriedades precisamos verificar para saber se um conjunto é um espaço vetorial:
  1. Fechamento na soma: Se você pegar dois vetores (funções) do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
  2. Fechamento na multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma função do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Existência do vetor zero: Deve existir uma função que age como zero na soma de funções.
  4. Associatividade e comutatividade da soma, entre outras propriedades.

Passo 4

Vamos aplicar essas propriedades aos subconjuntos de funções que foram apresentados no exercício. Por exemplo, suponha que um dos subconjuntos seja o conjunto de funções pares, ou seja, funções que satisfazem para todo . Vamos verificar se esse conjunto é um espaço vetorial.

Passo 5

  1. Fechamento na soma: Se e são funções pares, então . Logo, também é par.
  2. Fechamento na multiplicação por escalar: Se é par e é um número real, então . Portanto, também é par.
  3. Vetor zero: A função zero é par, já que .
Como todas as propriedades são satisfeitas, o conjunto de funções pares é um espaço vetorial.

Passo 6

Vamos verificar outro subconjunto, por exemplo, o conjunto de funções ímpares, que satisfazem .
  1. Fechamento na soma: Se e são ímpares, então . Logo, também é ímpar.
  2. Fechamento na multiplicação por escalar: Se é ímpar e é um número real, então . Portanto, é ímpar.
  3. Vetor zero: A função zero também é ímpar, pois .
Assim, o conjunto de funções ímpares também é um espaço vetorial.

Resposta

Os conjuntos de funções pares e ímpares são espaços vetoriais, pois satisfazem todas as propriedades necessárias de um espaço vetorial.

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(j) , munido das operações
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e , defina as seguintes operações em :
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