Sejam e espaços vetoriais sobre . Considere o produto cartesiano e . e , defina as seguintes operações em :
Mostre que é um espaço vetorial sobre .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois espaços vetoriais, e , sobre os números reais . O exercício quer que a gente mostre que o produto cartesiano com as operações definidas e também forma um espaço vetorial sobre . Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas que definem um espaço vetorial e verificar se eles são satisfeitos nesse contexto.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre é um conjunto onde conseguimos somar vetores e multiplicar por escalares, seguindo certas regras chamadas axiomas. Esses axiomas garantem que as operações sejam “bem comportadas”. No nosso caso, as operações são definidas como:
Passo 3
O primeiro passo para mostrar que é um espaço vetorial é verificar se e estão bem definidas. Isso significa que, ao somar ou multiplicar dois elementos de , o resultado ainda está em .
Como e , a soma está em porque é um espaço vetorial, e está em pelo mesmo motivo. Da mesma forma, está em e está em porque e são fechados sob multiplicação por escalares. Portanto, e são bem definidas.
Passo 4
Agora, vamos verificar os axiomas do espaço vetorial um a um. Existem vários axiomas, mas vamos considerar os mais importantes:
Associatividade da Adição:
Comutatividade da Adição:
Elemento Neutro da Adição: Existe um vetor tal que
Elemento Inverso da Adição: Para todo , existe tal que
Compatibilidade da Multiplicação por Escalares:
Distribuição da Multiplicação por Escalares em Relação à Adição Vetorial:
Distribuição da Multiplicação por Escalares em Relação à Adição de Escalares:
Elemento Neutro da Multiplicação por Escalares:
Vamos verificar cada um desses para .
Passo 5
1. Associatividade da Adição:
Vamos pegar três vetores em : , e .
Por outro lado,
Como a adição em e é associativa, temos que:
Portanto, a associatividade da adição é satisfeita.
Passo 6
2. Comutatividade da Adição:
Vamos pegar dois vetores e em .
Como a adição em e é comutativa:
Logo, . A comutatividade está satisfeita.
Passo 7
3. Existência do Elemento Neutro da Adição:
Precisamos encontrar um vetor em tal que, para qualquer ,
Como e são espaços vetoriais, eles possuem elementos neutros e , respectivamente. Portanto, é o elemento neutro para .
Passo 8
4. Existência do Elemento Inverso da Adição:
Para cada , precisamos encontrar tal que:
Como e são espaços vetoriais, para cada existe em e para cada existe em . Assim, é o inverso de em .
Passo 9
5. Compatibilidade da Multiplicação por Escalares:
Queremos mostrar que para e .
Portanto, a compatibilidade está verificada.
Passo 10
6. Distribuição da Multiplicação por Escalares em Relação à Adição Vetorial:
Queremos mostrar que .
Portanto, a distribuição está satisfeita.
Passo 11
7. Distribuição da Multiplicação por Escalares em Relação à Adição de Escalares:
Queremos mostrar que .
Então, a distribuição está verificada.
Passo 12
8. Elemento Neutro da Multiplicação por Escalares:
Precisamos mostrar que .
Assim, o elemento neutro da multiplicação por escalares está satisfeito.
Resposta
Com todas as propriedades verificadas, concluímos que é de fato um espaço vetorial sobre .