Sejam
e
espaços vetoriais sobre
. Considere o produto cartesiano
e
.
e
, defina as seguintes operações em
:
Mostre que
é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois espaços vetoriais,
e
, sobre os números reais
. O exercício quer que a gente mostre que o produto cartesiano
com as operações definidas
e
também forma um espaço vetorial sobre
. Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas que definem um espaço vetorial e verificar se eles são satisfeitos nesse contexto.
Passo 2
Vamos começar lembrando o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre
é um conjunto onde conseguimos somar vetores e multiplicar por escalares, seguindo certas regras chamadas axiomas. Esses axiomas garantem que as operações sejam “bem comportadas”. No nosso caso, as operações são definidas como:
Passo 3
O primeiro passo para mostrar que
é um espaço vetorial é verificar se
e
estão bem definidas. Isso significa que, ao somar ou multiplicar dois elementos de
, o resultado ainda está em
.
Como
e
, a soma
está em
porque
é um espaço vetorial, e
está em
pelo mesmo motivo. Da mesma forma,
está em
e
está em
porque
e
são fechados sob multiplicação por escalares. Portanto,
e
são bem definidas.
Passo 4
Agora, vamos verificar os axiomas do espaço vetorial um a um. Existem vários axiomas, mas vamos considerar os mais importantes:
- Associatividade da Adição:
- Comutatividade da Adição:
- Elemento Neutro da Adição: Existe um vetor
tal que - Elemento Inverso da Adição: Para todo
, existe tal que - Compatibilidade da Multiplicação por Escalares:
- Distribuição da Multiplicação por Escalares em Relação à Adição Vetorial:
- Distribuição da Multiplicação por Escalares em Relação à Adição de Escalares:
- Elemento Neutro da Multiplicação por Escalares:
Vamos verificar cada um desses para
.
Passo 5
1. Associatividade da Adição:
Vamos pegar três vetores em
:
,
e
.
Por outro lado,
Como a adição em
e
é associativa, temos que:
Portanto, a associatividade da adição é satisfeita.
Passo 6
2. Comutatividade da Adição:
Vamos pegar dois vetores
e
em
.
Como a adição em
e
é comutativa:
Logo,
. A comutatividade está satisfeita.
Passo 7
3. Existência do Elemento Neutro da Adição:
Precisamos encontrar um vetor
em
tal que, para qualquer
,
Como
e
são espaços vetoriais, eles possuem elementos neutros
e
, respectivamente. Portanto,
é o elemento neutro para
.
Passo 8
4. Existência do Elemento Inverso da Adição:
Para cada
, precisamos encontrar
tal que:
Como
e
são espaços vetoriais, para cada
existe
em
e para cada
existe
em
. Assim,
é o inverso de
em
.
Passo 9
5. Compatibilidade da Multiplicação por Escalares:
Queremos mostrar que
para
e
.
Portanto, a compatibilidade está verificada.
Passo 10
6. Distribuição da Multiplicação por Escalares em Relação à Adição Vetorial:
Queremos mostrar que
.
Portanto, a distribuição está satisfeita.
Passo 11
7. Distribuição da Multiplicação por Escalares em Relação à Adição de Escalares:
Queremos mostrar que
.
Então, a distribuição está verificada.
Passo 12
8. Elemento Neutro da Multiplicação por Escalares:
Precisamos mostrar que
.
Assim, o elemento neutro da multiplicação por escalares está satisfeito.
Resposta
Com todas as propriedades verificadas, concluímos que
é de fato um espaço vetorial sobre
.