Sejam (U,+, cdot) e (V,+, cdot) espaços vetoriais sobre R. Considere o produto cartesiano U times V=(u, v) ; u in U e v in V.
Dados(u1, v1),(u2, v2) in U times V e lambda in R, defina as seguintes operações em U times V :
(u1, v1) oplus(u2, v2) & =(u1+u2, v1+v2) lambda odot(u1, v1) & =(lambda cdot u1, lambda cdot v1)
Mostre que (U times V, oplus, odot) é um espaço vetorial sobre R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois espaços vetoriais, e , sobre os números reais . O exercício quer que a gente mostre que o produto cartesiano com as operações definidas e também forma um espaço vetorial sobre . Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas que definem um espaço vetorial e verificar se eles são satisfeitos nesse contexto.

Passo 2

Vamos começar lembrando o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre (u1, v1) oplus (u2, v2) &= (u1 + u2, v1 + v2) lambda odot (u1, v1) &= (lambda cdot u1, lambda cdot v1) é um conjunto onde conseguimos somar vetores e multiplicar por escalares, seguindo certas regras chamadas axiomas. Esses axiomas garantem que as operações sejam “bem comportadas”. No nosso caso, as operações são definidas como:

Passo 3

O primeiro passo para mostrar que é um espaço vetorial é verificar se e estão bem definidas. Isso significa que, ao somar ou multiplicar dois elementos de , o resultado ainda está em .
Como e , a soma está em porque é um espaço vetorial, e está em pelo mesmo motivo. Da mesma forma, está em e está em porque e são fechados sob multiplicação por escalares. Portanto, e são bem definidas.

Passo 4

Agora, vamos verificar os axiomas do espaço vetorial um a um. Existem vários axiomas, mas vamos considerar os mais importantes:
  1. Associatividade da Adição:
  2. Comutatividade da Adição:
  3. Elemento Neutro da Adição: Existe um vetor tal que
  4. Elemento Inverso da Adição: Para todo , existe tal que
  5. Compatibilidade da Multiplicação por Escalares:
  6. Distribuição da Multiplicação por Escalares em Relação à Adição Vetorial:
  7. Distribuição da Multiplicação por Escalares em Relação à Adição de Escalares:
  8. Elemento Neutro da Multiplicação por Escalares:
Vamos verificar cada um desses para .

Passo 5

1. Associatividade da Adição:
Vamos pegar três vetores em ((u1, v1) oplus (u2, v2)) oplus (u3, v3) &= (u1 + u2, v1 + v2) oplus (u3, v3) &= ((u1 + u2) + u3, (v1 + v2) + v3) : (u1, v1) oplus ((u2, v2) oplus (u3, v3)) = (u1, v1) oplus (u2 + u3, v2 + v3) = (u1 + (u2 + u3), v1 + (v2 + v3)) , (u1 + u2) + u3 = u1 + (u2 + u3) e (v1 + v2) + v3 = v1 + (v2 + v3) e .
Por outro lado,
Como a adição em e é associativa, temos que:
Portanto, a associatividade da adição é satisfeita.

Passo 6

2. Comutatividade da Adição:
Vamos pegar dois vetores (u1, v1) oplus (u2, v2) = (u1 + u2, v1 + v2) e (u2, v2) oplus (u1, v1) = (u2 + u1, v2 + v1) em u1 + u2 = u2 + u1 e v1 + v2 = v2 + v1 .
Como a adição em e é comutativa:
Logo, . A comutatividade está satisfeita.

Passo 7

3. Existência do Elemento Neutro da Adição:
Precisamos encontrar um vetor (u, v) oplus (0U, 0V) = (u + 0U, v + 0V) = (u, v) em tal que, para qualquer ,
Como e são espaços vetoriais, eles possuem elementos neutros e , respectivamente. Portanto, é o elemento neutro para .

Passo 8

4. Existência do Elemento Inverso da Adição:
Para cada (u, v) oplus (-u, -v) = (u + (-u), v + (-v)) = (0U, 0V) , precisamos encontrar tal que:
Como e são espaços vetoriais, para cada existe em e para cada existe em . Assim, é o inverso de em .

Passo 9

5. Compatibilidade da Multiplicação por Escalares:
Queremos mostrar que lambda (mu (u, v)) = lambda (mu u, mu v) = (lambda (mu u), lambda (mu v)) = ((lambda mu) u, (lambda mu) v) para (lambda mu) (u, v) = ((lambda mu) u, (lambda mu) v) e .
Portanto, a compatibilidade está verificada.

Passo 10

6. Distribuição da Multiplicação por Escalares em Relação à Adição Vetorial:
Queremos mostrar que lambda ((u1, v1) oplus (u2, v2)) = lambda (u1 + u2, v1 + v2) = (lambda (u1 + u2), lambda (v1 + v2)) .
= (lambda u1 + lambda u2, lambda v1 + lambda v2) = (lambda u1, lambda v1) oplus (lambda u2, lambda v2)
Portanto, a distribuição está satisfeita.

Passo 11

7. Distribuição da Multiplicação por Escalares em Relação à Adição de Escalares:
Queremos mostrar que (lambda + mu) (u, v) = ((lambda + mu) u, (lambda + mu) v) .
lambda (u, v) oplus mu (u, v) = (lambda u, lambda v) oplus (mu u, mu v) = (lambda u + mu u, lambda v + mu v)
= ((lambda + mu) u, (lambda + mu) v)
Então, a distribuição está verificada.

Passo 12

8. Elemento Neutro da Multiplicação por Escalares:
Precisamos mostrar que 1 (u, v) = (1 cdot u, 1 cdot v) = (u, v) .
Assim, o elemento neutro da multiplicação por escalares está satisfeito.

Resposta

Com todas as propriedades verificadas, concluímos que é de fato um espaço vetorial sobre .

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