Nos itens a seguir, determine se o conjunto dado com as operações especificadas de adição e de multiplicação por escalar é um espaço vetorial.
O conjunto de todos os vetores em com .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um conjunto de todos os vetores no onde o produto das componentes . Nosso objetivo é descobrir se esse conjunto, com as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e verificar se esse conjunto satisfaz todas as regras que definem um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de somar e multiplicar por escalares, respeita algumas propriedades, como existência de um vetor zero, existência de negativos, associatividade, comutatividade da soma, entre outras. Essas propriedades estão listadas nos axiomas de um espaço vetorial.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o conjunto dado satisfaz esses axiomas. Vamos começar verificando se ele contém o vetor zero. O vetor zero em é . Substituindo na condição , temos , que é maior ou igual a zero. Então, o vetor zero está no conjunto.

Passo 4

Em seguida, vamos verificar se o conjunto é fechado em relação à adição. Isso significa que se pegarmos dois vetores no conjunto, a soma deles também deve estar no conjunto. Vamos pegar dois vetores quaisquer e onde e . A soma deles é . Para que , precisaríamos que o produto seja não negativo. Porém, isso nem sempre acontece. Por exemplo, se e estão no conjunto, mas sua soma é que também está, mas se pegarmos e , a soma é e , que está ok. Porém, se pegarmos e , a soma é e , que é menor que zero, então não está no conjunto. Portanto, o conjunto não é fechado em relação à adição.

Passo 5

Como já encontramos uma propriedade que não é satisfeita, não precisamos verificar todas as outras. Sabemos que para ser um espaço vetorial, todas as propriedades devem ser atendidas. Já falhamos na propriedade de fechamento pela adição, então podemos concluir que o conjunto não é um espaço vetorial.

Resposta

O conjunto de todos os vetores em com , com as operações de adição e multiplicação por escalar, não é um espaço vetorial.

Exercícios relacionados

Para os itens abaixo, considere os seguintes subconjuntos das funções com a operação de soma entre funções e multiplicação por escalar definida de maneira usual. Quais dos conjuntos são espaços vetoriais:
Verifique se em cada um dos itens o conjunto , munido das operações indicadas, é um espaço vetorial sobre .
(j) , munido das operações
Sejam e espaços vetoriais sobre . Considere o produto cartesiano e .
e , defina as seguintes operações em :
Mostre que é um espaço vetorial sobre .
Dada as matrizes:
e
Calcular