Nos itens abaixo, desenhe o gráfico e ache a área de acordo com as informações abaixo. ; eixo e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar o gráfico da função e encontrar a área delimitada por essa curva, pelo eixo (que é onde ), pela reta e pela reta . Para isso, vamos usar conceitos de gráficos de funções quadráticas e cálculo de áreas através de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Essa é uma função quadrática, que geralmente tem a forma . O gráfico dessa função é uma parábola. Como o coeficiente de é positivo ( ), a parábola abre para cima.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos onde a parábola intercepta o eixo . Para isso, colocamos e resolvemos a equação:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante ( ):
Como é positivo, temos duas raízes reais:
Portanto:
Então, a parábola intercepta o eixo nos pontos e .

Passo 4

Agora, vamos desenhar o gráfico. Sabemos que a parábola abre para cima, com vértice entre e . Além disso, temos as retas verticais e . A área que queremos encontrar está entre e e abaixo da parábola, acima do eixo .

Passo 5

Para encontrar a área, vamos usar a integral definida da função de a . A integral nos dá a área sob a curva entre esses dois pontos.
A integral será:
Á

Passo 6

Vamos calcular essa integral passo a passo:
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
Á
Simplificando:
Á
Como área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Á

Resposta

A área delimitada pela função , pelo eixo , e pelas retas e é aproximadamente unidades quadradas.

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