Nos itens abaixo, desenhe o gráfico e ache a área de acordo com as informações abaixo.
; eixo
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar o gráfico da função
e encontrar a área delimitada por essa curva, pelo eixo
(que é onde
), pela reta
e pela reta
. Para isso, vamos usar conceitos de gráficos de funções quadráticas e cálculo de áreas através de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Essa é uma função quadrática, que geralmente tem a forma
. O gráfico dessa função é uma parábola. Como o coeficiente de
é positivo (
), a parábola abre para cima.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos onde a parábola intercepta o eixo
. Para isso, colocamos
e resolvemos a equação:
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante (
):
Como
é positivo, temos duas raízes reais:
Portanto:
Então, a parábola intercepta o eixo
nos pontos
e
.
Passo 4
Agora, vamos desenhar o gráfico. Sabemos que a parábola abre para cima, com vértice entre
e
. Além disso, temos as retas verticais
e
. A área que queremos encontrar está entre
e
e abaixo da parábola, acima do eixo
.
Passo 5
Para encontrar a área, vamos usar a integral definida da função
de
a
. A integral nos dá a área sob a curva entre esses dois pontos.
A integral será:
Passo 6
Vamos calcular essa integral passo a passo:
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
Simplificando:
Como área não pode ser negativa, consideramos o valor absoluto:
Resposta
A área delimitada pela função
, pelo eixo
, e pelas retas
e
é aproximadamente
unidades quadradas.
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