(PUC-RJ)O valor de (1-i)^12, onde i é a unidade imaginária, é de:
A) -2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o valor de (1 - i)^12 onde i é a unidade imaginária. Isso está relacionado com números complexos e vamos precisar usar a forma polar e o Teorema de De Moivre para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o número complexo 1 - i na forma polar. Um número complexo na forma a + b i pode ser representado como r(cos theta + i sin theta), onde:
  • r é o módulo do número, calculado por r = raiza^2 + b^2
  • theta é o argumento, que é o ângulo formado com o eixo real, calculado por theta = arctan(ba)

Passo 3

Calculando o módulo r para 1 - i:
r = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2

Passo 4

Calculando o argumento theta:
theta = arctan(-11) = arctan(-1) = -45^circ
Então, podemos escrever 1 - i como:
raiz2 ( cos(-45^circ) + i sin(-45^circ) )

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema de De Moivre, que diz que (r (cos theta + i sin theta))^n = r^n (cos(ntheta) + i sin(ntheta)). Vamos elevar 1 - i à 12ª potência:
(raiz2)^12 ( cos(12 times -45^circ) + i sin(12 times -45^circ) )

Passo 6

Calculando (raiz2)^12:
(raiz2)^12 = (2^1/2)^12 = 2^6 = 64

Passo 7

Calculando os ângulos:
12 times -45^circ = -540^circ
Como os ângulos são periódicos a cada 360^circ, podemos simplificar:
-540^circ + 360^circ = -180^circ
Então:
cos(-180^circ) = -1 e sin(-180^circ) = 0

Passo 8

Substituindo de volta na expressão:
64 ( -1 + i times 0 ) = -64

Resposta

O valor de (1 - i)^12 é -64.

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