(PUC-RJ)O valor de
, onde
é a unidade imaginária, é de:
A) -2
A) -2
Passo 1
Beleza, vamos resolver o valor de
onde
é a unidade imaginária. Isso está relacionado com números complexos e vamos precisar usar a forma polar e o Teorema de De Moivre para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o número complexo
na forma polar. Um número complexo na forma
pode ser representado como
, onde:
-
é o módulo do número, calculado por -
é o argumento, que é o ângulo formado com o eixo real, calculado por
Passo 3
Calculando o módulo
para
:
Passo 4
Calculando o argumento
:
Então, podemos escrever
como:
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema de De Moivre, que diz que
. Vamos elevar
à 12ª potência:
Passo 6
Calculando
:
Passo 7
Calculando os ângulos:
Como os ângulos são periódicos a cada
, podemos simplificar:
Então:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão:
Resposta
O valor de
é
.