(PUC-RJ)O valor de , onde é a unidade imaginária, é de:
A) -2
Passo 1
Beleza, vamos resolver o valor de onde é a unidade imaginária. Isso está relacionado com números complexos e vamos precisar usar a forma polar e o Teorema de De Moivre para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o número complexo na forma polar. Um número complexo na forma pode ser representado como , onde:
é o módulo do número, calculado por
é o argumento, que é o ângulo formado com o eixo real, calculado por
Passo 3
Calculando o módulo para :
Passo 4
Calculando o argumento :
Então, podemos escrever como:
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema de De Moivre, que diz que . Vamos elevar à 12ª potência:
Passo 6
Calculando :
Passo 7
Calculando os ângulos:
Como os ângulos são periódicos a cada , podemos simplificar: