(PUC-RJ)O valor de , onde é a unidade imaginária, é de:
A) -2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o valor de onde é a unidade imaginária. Isso está relacionado com números complexos e vamos precisar usar a forma polar e o Teorema de De Moivre para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o número complexo na forma polar. Um número complexo na forma pode ser representado como , onde:
  • é o módulo do número, calculado por
  • é o argumento, que é o ângulo formado com o eixo real, calculado por

Passo 3

Calculando o módulo para :

Passo 4

Calculando o argumento :
Então, podemos escrever como:

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema de De Moivre, que diz que . Vamos elevar à 12ª potência:

Passo 6

Calculando :

Passo 7

Calculando os ângulos:
Como os ângulos são periódicos a cada , podemos simplificar:
Então:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão:

Resposta

O valor de é .

Exercícios relacionados

Determine o ponto tal que , onde e .
Verifique se os seguintes vetores são paralelos: e .
Nos itens abaixo determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira prove e se for falsa apresente um contraexemplo.
Se então .
Determine a equação cartesiana do círculo de centro e raio onde:
(a) e
(b) e ;
© e