Nos itens abaixo, determine quando cada sistema de equações lineares (i) tem uma única solução, (ii) tem infinitas soluções, ou (ii) não possui solução. Quando existirem, exiba o conjunto solução. ;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas: , e . O objetivo é descobrir se esse sistema tem:
Uma única solução,
Infinitas soluções, ou
Nenhuma solução.
Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação, que nos ajuda a simplificar o sistema e encontrar os valores das incógnitas. Vamos começar!
Passo 2
Primeiro, escrevemos o sistema de equações para facilitar:
çãçãçã
Vamos tentar eliminar uma das variáveis para simplificar. Vamos eliminar o entre a Equação 1 e a Equação 2.
Passo 3
Para eliminar , podemos multiplicar a Equação 2 por 2 e subtrair da Equação 1.
Multiplicando a Equação 2 por 2:
çã
Agora, subtraindo essa da Equação 1:
Então, encontramos que .
Passo 4
Agora que sabemos que , podemos substituir esse valor em uma das equações para encontrar outra variável. Vamos usar a Equação 2:
çã
Agora temos uma relação entre e :
Passo 5
Vamos substituir e na Equação 3 para encontrar o valor de :
Agora sabemos que .
Passo 6
Com , podemos encontrar usando a Equação 4:
Então, .
Passo 7
Resumindo, encontramos os valores das incógnitas:
Isso significa que o sistema tem uma única solução.