Nos itens abaixo, determine quando cada sistema de equações lineares (i) tem uma única solução, (ii) tem infinitas soluções, ou (ii) não possui solução. Quando existirem, exiba o conjunto solução. ;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas: , e . O objetivo é descobrir se esse sistema tem:
Uma única solução,
Infinitas soluções, ou
Nenhuma solução.
Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação, que nos ajuda a simplificar o sistema e encontrar os valores das incógnitas. Vamos começar!
Passo 2
Primeiro, escrevemos o sistema de equações para facilitar:
2a + b - 2z = 4 (Equação 1) a + 3b - z = -3 (Equação 2) 3a + 4b - z = 7 (Equação 3) çãçãçã
Vamos tentar eliminar uma das variáveis para simplificar. Vamos eliminar o entre a Equação 1 e a Equação 2.
Passo 3
Para eliminar 2(a + 3b - z) = 2(-3) 2a + 6b - 2z = -6 (Equação 2 mu, podemos multiplicar a Equação 2 por 2 e subtrair da Equação 1.
Agora que sabemos que a + 3b - z = -3 a + 3(-2) - z = -3 a - 6 - z = -3 a - z = 3 (Equação 4) , podemos substituir esse valor em uma das equações para encontrar outra variável. Vamos usar a Equação 2:
a = z + 3 çã
Agora temos uma relação entre e :
Passo 5
Vamos substituir 3a + 4b - z = 7 3(z + 3) + 4(-2) - z = 7 3z + 9 - 8 - z = 7 2z + 1 = 7 2z = 6 z = 3 e na Equação 3 para encontrar o valor de :
Agora sabemos que .
Passo 6
Com a = z + 3 a = 3 + 3 a = 6 , podemos encontrar usando a Equação 4:
Então, .
Passo 7
Resumindo, encontramos os valores das incógnitas:
a = 6, b = -2, z = 3
Isso significa que o sistema tem uma única solução.