Nos itens abaixo, determine quando cada sistema de equações lineares (i) tem uma única solução, (ii) tem infinitas soluções, ou (ii) não possui solução. Quando existirem, exiba o conjunto solução. ;
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . O objetivo é determinar quando esse sistema tem:
Uma única solução
Infinitas soluções
Nenhuma solução
Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação de variáveis, também conhecido como método de Gauss. Esse método ajuda a simplificar o sistema passo a passo até encontrarmos os valores das variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma organizada:
Vamos usar o método de eliminação para zerar os elementos abaixo do primeiro coeficiente (que é 2) na coluna de R2 - 32R1 Rightarrow 0x + 2y - 4z = -6 . Para isso, vamos ajustar as linhas 2 e 3.
Eliminando R3 + 12R1 Rightarrow 0x + 3y + 5z = 13 da segunda linha:
Multiplicamos a primeira linha por 2 & 4 & 6 & | & 22 0 & 2 & -4 & | & -6 0 & 3 & 5 & | & 13 e subtraímos da segunda linha:
Eliminando da terceira linha:
Multiplicamos a primeira linha por e somamos à terceira linha:
A matriz agora fica assim:
Passo 5
Com a nova matriz, vamos eliminar o coeficiente de R3 - 32R2 Rightarrow 0x + 0y + 11z = 22 na terceira linha usando a segunda linha.
Multiplicamos a segunda linha por 2 & 4 & 6 & | & 22 0 & 2 & -4 & | & -6 0 & 0 & 11 & | & 22 e subtraímos da terceira linha:
A matriz fica assim:
Passo 6
Agora temos uma matriz triangular, o que facilita resolver o sistema por substituição: