Nos itens abaixo, determine quando cada sistema de equações lineares (i) tem uma única solução, (ii) tem infinitas soluções, ou (ii) não possui solução. Quando existirem, exiba o conjunto solução.
l2 x+4 y+6 z=22 3 x+8 y+5 z=27 -x+y+2 z=2;

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . O objetivo é determinar quando esse sistema tem:
  1. Uma única solução
  2. Infinitas soluções
  3. Nenhuma solução
Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação de variáveis, também conhecido como método de Gauss. Esse método ajuda a simplificar o sistema passo a passo até encontrarmos os valores das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma organizada:
2x + 4y + 6z = 22 3x + 8y + 5z = 27 -,x + y + 2z = 2

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Essa matriz inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
2 & 4 & 6 & | & 22 3 & 8 & 5 & | & 27 -1 & 1 & 2 & | & 2

Passo 4

Vamos usar o método de eliminação para zerar os elementos abaixo do primeiro coeficiente (que é 2) na coluna de R2 - 32R1 Rightarrow 0x + 2y - 4z = -6 . Para isso, vamos ajustar as linhas 2 e 3.
  • Eliminando R3 + 12R1 Rightarrow 0x + 3y + 5z = 13 da segunda linha:
Multiplicamos a primeira linha por 2 & 4 & 6 & | & 22 0 & 2 & -4 & | & -6 0 & 3 & 5 & | & 13 e subtraímos da segunda linha:
  • Eliminando da terceira linha:
Multiplicamos a primeira linha por e somamos à terceira linha:
A matriz agora fica assim:

Passo 5

Com a nova matriz, vamos eliminar o coeficiente de R3 - 32R2 Rightarrow 0x + 0y + 11z = 22 na terceira linha usando a segunda linha.
Multiplicamos a segunda linha por 2 & 4 & 6 & | & 22 0 & 2 & -4 & | & -6 0 & 0 & 11 & | & 22 e subtraímos da terceira linha:
A matriz fica assim:

Passo 6

Agora temos uma matriz triangular, o que facilita resolver o sistema por substituição:
  • Encontrando 11z = 22 Rightarrow z = 2 :
2y - 4(2) = -6 Rightarrow 2y - 8 = -6 Rightarrow 2y = 2 Rightarrow y = 1
  • Encontrando 2x + 4(1) + 6(2) = 22 Rightarrow 2x + 4 + 12 = 22 Rightarrow 2x = 6 Rightarrow x = 3 :
Substituímos na segunda equação:
  • Encontrando :
Substituímos e na primeira equação:

Resposta

O sistema possui uma única solução:
x = 3, y = 1, z = 2

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