Se a massa
for presa na extremidade de uma mola e se a mola for puxada para baixo e liberada, o sistema massa-mola começará a oscilar. O deslocamento
da massa em relação à sua posição de repouso é dado por uma função da forma:
na qual
é uma constante que depende da mola e da massa. Mostre que o conjunto de toda sas funções descritas acima (com
fixo e
e
arbitrários) é um espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um sistema massa-mola onde a massa
está presa a uma mola. Quando puxamos a mola para baixo e soltamos, a massa começa a oscilar. O deslocamento
da massa em relação à posição de repouso é dado por uma função que combina cosseno e seno, ou seja:
Aqui,
é uma constante que depende da mola e da massa. O que precisamos mostrar é que o conjunto de todas essas funções
, com
fixo e
e
podendo ser quaisquer valores, forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e verificar se esse conjunto satisfaz as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de objetos (no nosso caso, funções) que podem ser adicionados entre si e multiplicados por escalar (números), de tal forma que certas propriedades (como associatividade, existência de elemento neutro, etc.) sejam satisfeitas.
Então, para mostrar que nosso conjunto de funções
é um espaço vetorial, precisamos verificar essas propriedades básicas:
- Fechamento sob Adição: Se pegarmos duas funções do conjunto, a soma delas também deve estar no conjunto.
- Fechamento sob Multiplicação por Escalar: Se multiplicarmos uma função do conjunto por um número qualquer, o resultado também deve estar no conjunto.
- E outras propriedades como associatividade, existência de um vetor zero, etc.
Vamos começar verificando o fechamento sob adição e multiplicação por escalar.
Passo 3
Fechamento sob Adição:
Seja
e
duas funções do nosso conjunto.
A soma dessas funções é:
Observamos que
e
são apenas novos coeficientes, que ainda podem ser qualquer número real. Portanto,
também está no conjunto.
Fechamento sob Multiplicação por Escalar:
Seja
um número real e
uma função do nosso conjunto.
Multiplicando por
:
Aqui,
e
são novos coeficientes, que também podem ser quaisquer números reais. Assim,
também está no conjunto.
Passo 4
Além do fechamento sob adição e multiplicação por escalar, precisamos verificar outras propriedades fundamentais de um espaço vetorial:
-
Elemento Neutro: Existe uma função no conjunto que, quando adicionada a qualquer outra função, não a altera. Essa função é
. -
Existência de Inversos Aditivos: Para cada função
, existe outra função que, quando somadas, resultam na função zero. -
Associatividade e Comutatividade: A adição de funções é associativa e comutativa.
Essas propriedades são satisfeitas porque estamos lidando com combinações lineares de funções cosseno e seno, que naturalmente obedecem essas regras.
Resposta
Portanto, mostramos que o conjunto de todas as funções da forma
, com
fixo e
e
sendo quaisquer constantes, satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial.
Exercícios relacionados
Uma matriz
possui elementos cuja soma vale 1. Se
onde
é a transposta de X , calcule o produto dos elementos de X.
Nos ítens abaixo, determine se o conjunto dado é um subespaço de
(conjunto dos polinômios com grau igual ou menor do que
) para um valor apropriado de
. Justifique suas respostas:
b) Todos os polinômios de grau no máximo 3, com coeficientes inteiros.
b) Todos os polinômios de grau no máximo 3, com coeficientes inteiros.
Seja
um espaço vetorial de dimensão finita
. Mostre que se
é impar, não existe transformação linear
tal que
. Além disso, mostre que a afirmação anterior é falsa se
é par.
Seja
o primeiro quadrante do plano
, ou seja,
a) Se
e
estiverem em
, será que
estará em
? Por quê?