Mostre se os conjuntos abaixo formam ou não espaço vetorial. Em caso negativo, indique quais axiomas não são respeitados:
b) matrizes
, com
.
b) matrizes
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se o conjunto de matrizes do tipo
, onde
e
são números reais, forma ou não um espaço vetorial. Para isso, vamos usar a teoria de espaços vetoriais, que basicamente são conjuntos que satisfazem certos axiomas (regras) com operações de adição e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um conjunto
é espaço vetorial se, com as operações de adição e multiplicação por escalar, ele satisfaz oito axiomas, como associatividade, existência de elemento neutro, existência de inversos, distributividade, etc. A gente vai checar se essas propriedades são válidas pra esse conjunto de matrizes.
Passo 3
Vamos começar verificando a adição. Se pegarmos duas matrizes desse tipo:
Isso também é uma matriz do mesmo tipo, já que a soma dos elementos nas posições
e
continua sendo zero.
Passo 4
Agora, vamos ver a multiplicação por escalar. Tomando um escalar
e a matriz
, a multiplicação por
dá:
Também resulta em uma matriz do mesmo tipo.
Passo 5
Vamos checar agora alguns axiomas específicos:
-
Elemento Neutro da Adição: A matriz zero,
, está no conjunto, pois e . -
Existência de Inversos Aditivos: Para qualquer matriz
, existe outra matriz que é o inverso aditivo. -
Associatividade e Comutatividade da Adição: A soma de matrizes é associativa e comutativa, propriedades herdadas das matrizes em geral.
-
Distributividade da Multiplicação por Escalar: As leis de distributividade também são satisfeitas, como vimos na multiplicação por escalar.
Passo 6
Já vimos que as operações de adição e multiplicação por escalar mantêm o conjunto dentro do mesmo tipo de matrizes e que todos os axiomas necessários são satisfeitos. Portanto, não encontramos nenhum axioma que seja violado.
Resposta
Sim, o conjunto de matrizes
, com
, forma um espaço vetorial.
Exercícios relacionados
Nos ítens abaixo, determine se o conjunto dado é um subespaço de
(conjunto dos polinômios com grau igual ou menor do que
) para um valor apropriado de
. Justifique suas respostas:
a) Todos os polinômios da forma , com
em
a) Todos os polinômios da forma
Dados
,
e
, calcular
Dados
,
e
, calcular
(5. Calcular o módulo dos segúintes vetores:
(5. Calcular o módulo dos segúintes vetores:
Calcular o módulo dos segúintes vetores: