Mostre se os conjuntos abaixo formam ou não espaço vetorial. Em caso negativo, indique quais axiomas não são respeitados:
b) matrizes , com .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se o conjunto de matrizes do tipo , onde e são números reais, forma ou não um espaço vetorial. Para isso, vamos usar a teoria de espaços vetoriais, que basicamente são conjuntos que satisfazem certos axiomas (regras) com operações de adição e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um conjunto é espaço vetorial se, com as operações de adição e multiplicação por escalar, ele satisfaz oito axiomas, como associatividade, existência de elemento neutro, existência de inversos, distributividade, etc. A gente vai checar se essas propriedades são válidas pra esse conjunto de matrizes.

Passo 3

Vamos começar verificando a adição. Se pegarmos duas matrizes desse tipo:
e , a soma delas é:
Isso também é uma matriz do mesmo tipo, já que a soma dos elementos nas posições e continua sendo zero.

Passo 4

Agora, vamos ver a multiplicação por escalar. Tomando um escalar e a matriz , a multiplicação por dá:
Também resulta em uma matriz do mesmo tipo.

Passo 5

Vamos checar agora alguns axiomas específicos:
  1. Elemento Neutro da Adição: A matriz zero, , está no conjunto, pois e .
  2. Existência de Inversos Aditivos: Para qualquer matriz , existe outra matriz que é o inverso aditivo.
  3. Associatividade e Comutatividade da Adição: A soma de matrizes é associativa e comutativa, propriedades herdadas das matrizes em geral.
  4. Distributividade da Multiplicação por Escalar: As leis de distributividade também são satisfeitas, como vimos na multiplicação por escalar.

Passo 6

Já vimos que as operações de adição e multiplicação por escalar mantêm o conjunto dentro do mesmo tipo de matrizes e que todos os axiomas necessários são satisfeitos. Portanto, não encontramos nenhum axioma que seja violado.

Resposta

Sim, o conjunto de matrizes , com , forma um espaço vetorial.

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Nos ítens abaixo, determine se o conjunto dado é um subespaço de (conjunto dos polinômios com grau igual ou menor do que ) para um valor apropriado de . Justifique suas respostas:
a) Todos os polinômios da forma , com em
Dados , e , calcular
Dados , e , calcular

(5. Calcular o módulo dos segúintes vetores:
Calcular o módulo dos segúintes vetores: