Sejam A uma matriz de ordem n times n e Ei a n-úpla que possui todas as coordenadas nulas, com exceção da i-ésima, que é 1 . Mostre que Ei A=Ai, isto é, a i-ésima linha da matriz A, e que A^t Ei=A^i, isto é, a i-ésima coluna da matriz A.

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma matriz quadrada de ordem e um vetor que é tipo um “vetorzinho mágico”: todas as posições são zero, menos a -ésima, que é 1. O que a gente precisa mostrar é que quando a gente multiplica pela matriz , o resultado é a -ésima linha da matriz , que a gente chama de . E também que se a gente transpor (ou seja, virar linhas em colunas) e multiplicar pela , a gente obtém a -ésima coluna da matriz , que a gente chama de .
Pra resolver isso, a gente vai precisar lembrar como funciona a multiplicação de vetores por matrizes e também o que é matriz transposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é o vetor Ei = 0 & 0 & cdots & 1 & cdots & 0 . Ele é um vetor linha com todos os elementos zero, menos o -ésimo, que é 1. Ou seja:
Onde o 1 está na posição .

Passo 3

Agora, vamos multiplicar Ei A = 0 & 0 & cdots & 1 & cdots & 0 a11 & a12 & cdots & a1n a21 & a22 & cdots & a2n vdots & vdots & ddots & vdots an1 & an2 & cdots & ann = ai1 & ai2 & cdots & ain pela matriz . Lembra que na multiplicação de um vetor linha por uma matriz, cada elemento do vetor linha multiplica a respectiva coluna da matriz e soma tudo. Mas como só tem um 1 no -ésimo lugar, na verdade só vamos pegar a -ésima coluna de multiplicada por 1 e todo resto por 0.
Então:
Então, é justamente a -ésima linha da matriz , ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos tratar da transposição. A matriz transposta A^t Ei = a11 & a21 & cdots & an1 a12 & a22 & cdots & an2 vdots & vdots & ddots & vdots a1n & a2n & cdots & ann 0 0 vdots 1 vdots 0 = a1i a2i vdots ani é aquela onde as linhas e colunas de foram trocadas. Ou seja, a -ésima linha de vira a -ésima coluna de .
Então, se a gente multiplica pelo vetor , que agora é um vetor coluna (porque original era linha e estamos lidando com ), a gente está pegando a combinação linear das colunas de ponderadas pelos elementos de .
Como só tem um 1 na -ésima posição de , isso significa que a multiplicação vai selecionar exatamente a -ésima coluna de .
Então:
Isso mostra que é a -ésima coluna de , ou seja, .

Resposta

Assim, mostramos que e , ou seja, o vetor multiplicado pela matriz dá a -ésima linha de e a matriz transposta multiplicada por dá a -ésima coluna de .

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