Mostre que as funções z=f(x, y) seguintes satisfazem a equação
x partial zpartial x+y partial zpartial y=0
z=xy

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função x partial zpartial x + y partial zpartial y = 0 satisfaz a equação
Aqui, estamos lidando com derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de várias variáveis e queremos ver como a função varia em relação a uma delas, mantendo as outras constantes. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial x = 1y em relação a , ou seja, . Como , tratamos como uma constante quando derivamos em relação a . A derivada de em relação a é 1, então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial zpartial y = -xy^2 em relação a , . Desta vez, é tratado como uma constante. A derivada de em relação a é , então:

Passo 4

Com as derivadas parciais encontradas, vamos substituir na equação dada:
x cdot partial zpartial x + y cdot partial zpartial y = x cdot 1y + y cdot ( -xy^2 )
Simplificando:
xy - xy = 0

Resposta

Portanto, mostramos que
x partial zpartial x + y partial zpartial y = 0
para a função .

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