Mostre que as funções z=f(x, y) seguintes satisfazem a equação
x partial zpartial x+y partial zpartial y=0
z=xx+y

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para mostrar que a função satisfaz a equação . Vamos usar conceitos de derivadas parciais e substituição na equação dada para verificar se a função atende à condição proposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . Vamos começar com .

Passo 3

A função partial zpartial x = (x + y)(1) - x(1)(x + y)^2 = x + y - x(x + y)^2 = y(x + y)^2 é dada por . Para encontrar , tratamos como uma constante:

Passo 4

Agora, vamos calcular partial zpartial y = (x + y)(0) - x(1)(x + y)^2 = -x(x + y)^2 . Novamente, a função , e desta vez tratamos como uma constante:

Passo 5

Com as derivadas parciais encontradas, substituímos na equação original x cdot y(x + y)^2 + y cdot ( -x(x + y)^2 ) = xy(x + y)^2 - xy(x + y)^2 = 0 :

Resposta

A função satisfaz a equação .

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