Nos itens abaixo, determine se
é ou não um subespaço de
.
é o conjunto de todos os vetores de
tais que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se o conjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear que tratam de subespaços vetoriais. Precisamos verificar três coisas principais: se
contém o vetor zero, se é fechado em relação à adição de vetores e se é fechado em relação à multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Pelo enunciado,
é o conjunto de todos os vetores
em
que satisfazem a equação
.
Passo 3
Agora, vamos descobrir quais vetores pertencem a
. A equação
só é verdadeira se ambos
e
forem iguais a zero. Isso porque quadrados de números reais são sempre não negativos, e a soma deles só será zero se cada termo for zero.
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos verificar as três condições para
ser um subespaço:
-
Contém o vetor zero:O vetor
está em , então essa condição é satisfeita. -
Fechado em relação à adição:Se pegarmos dois vetores quaisquer de
, que na verdade só é , e somarmos, ainda teremos , que pertence a . -
Fechado em relação à multiplicação por escalar:Se multiplicarmos qualquer vetor de
por um escalar , teremos , que também está em .
Resposta
Sim,
é um subespaço de
.
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Nos itens abaixo, suponha que os vetores
sejam linearmente independentes. Aplique a definição de independência linear para demonstrar que os vetores
também são linearmente independentes.
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tais que
e
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