Nos itens abaixo, determine se é ou não um subespaço de .
é o conjunto de todos os vetores de tais que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se o conjunto é um subespaço de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear que tratam de subespaços vetoriais. Precisamos verificar três coisas principais: se contém o vetor zero, se é fechado em relação à adição de vetores e se é fechado em relação à multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Pelo enunciado, é o conjunto de todos os vetores em que satisfazem a equação .

Passo 3

Agora, vamos descobrir quais vetores pertencem a . A equação só é verdadeira se ambos e forem iguais a zero. Isso porque quadrados de números reais são sempre não negativos, e a soma deles só será zero se cada termo for zero.
Então, .

Passo 4

Agora, vamos verificar as três condições para ser um subespaço:
  1. Contém o vetor zero:
    O vetor está em , então essa condição é satisfeita.
  2. Fechado em relação à adição:
    Se pegarmos dois vetores quaisquer de , que na verdade só é , e somarmos, ainda teremos , que pertence a .
  3. Fechado em relação à multiplicação por escalar:
    Se multiplicarmos qualquer vetor de por um escalar , teremos , que também está em .

Resposta

Sim, é um subespaço de .

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Nos itens abaixo, suponha que os vetores sejam linearmente independentes. Aplique a definição de independência linear para demonstrar que os vetores também são linearmente independentes.
.
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é o conjunto de todos os vetores de tais que e .
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é o conjunto de todos os vetores de tais que .