Nos itens abaixo, determine se
é ou não um subespaço de
.
é o conjunto de todos os vetores de
tais que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
que consiste em todos os vetores em
que satisfazem a equação
. A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente o conceito de subespaços vetoriais. Para determinar se
é um subespaço de
, precisamos verificar três condições: se o vetor zero pertence a
, se
é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero pertence a
. O vetor zero em
é
. Substituindo esses valores na equação:
Como a equação se mantém verdadeira, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Isso significa que se tivermos dois vetores
e
em
, a soma
também deve estar em
.
Suponha que
e
estão em
, então:
Somando as duas equações:
Portanto,
também satisfaz a equação e pertence a
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se
está em
e
é um escalar, então
também deve estar em
.
Como
está em
, temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Assim,
também satisfaz a equação e pertence a
.
Resposta
Como todas as três condições para ser um subespaço de
são satisfeitas, concluímos que
é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, suponha que os vetores
sejam linearmente independentes. Aplique a definição de independência linear para demonstrar que os vetores
também são linearmente independentes.
.
Nos itens abaixo, expresse o vetor
como uma combinação linear dos vetores
, se isto for possível. Em caso negativo, demonstre a impossibilidade.
Nos itens abaixo, determine se
é ou não um subespaço de
.
é o conjunto de todos os vetores de
tais que
.
Nos itens abaixo, determine se
é ou não um subespaço de
.
é o conjunto de todos os vetores de
tais que
e
.