Nos itens abaixo, determine se W é ou não um subespaço de R^n.
W é o conjunto de todos os vetores de R^4 tais que x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 = 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto que consiste em todos os vetores em que satisfazem a equação . A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente o conceito de subespaços vetoriais. Para determinar se é um subespaço de , precisamos verificar três condições: se o vetor zero pertence a , se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero pertence a . O vetor zero em é . Substituindo esses valores na equação:
Como a equação se mantém verdadeira, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Isso significa que se tivermos dois vetores e em , a soma também deve estar em .
Suponha que e estão em , então:
Somando as duas equações:
Portanto, também satisfaz a equação e pertence a .

Passo 4

Por último, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se está em e é um escalar, então também deve estar em .
Como está em , temos:
Multiplicando ambos os lados por :
Assim, também satisfaz a equação e pertence a .

Resposta

Como todas as três condições para ser um subespaço de são satisfeitas, concluímos que é um subespaço de .

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