Nos itens abaixo, determine se é ou não um subespaço de .
é o conjunto de todos os vetores de tais que e .

Passo 1

OK, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto dentro de definido por . A questão é determinar se esse conjunto é um subespaço de . Para resolver isso, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial: o conjunto deve conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é .
Por que isso é importante? Um subespaço sempre deve conter o vetor zero, pois o vetor zero é a identidade para a adição de vetores.
Agora, substituindo na definição de :
Portanto, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em , a soma deles também deve estar em .
Se temos dois vetores e em , então:
A soma . Vamos verificar se:
Substituindo:
Portanto, a soma de dois vetores em também está em .

Passo 4

Por último, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se tivermos um vetor em e multiplicarmos ele por qualquer número real, o resultado também deve estar em .
Se temos um vetor em e um escalar , então:
Multiplicando por :
Verificando as condições:
Portanto, a multiplicação de um vetor em por um escalar também está em .

Resposta

Sim, é um subespaço de .

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