Nos itens abaixo, determine se
é ou não um subespaço de
.
é o conjunto de todos os vetores de
tais que
e
.
Passo 1
OK, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto
dentro de
definido por
. A questão é determinar se esse conjunto
é um subespaço de
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial: o conjunto deve conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
.
Por que isso é importante? Um subespaço sempre deve conter o vetor zero, pois o vetor zero é a identidade para a adição de vetores.
Agora, substituindo na definição de
:
Portanto, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Isso significa que, se pegarmos dois vetores quaisquer em
, a soma deles também deve estar em
.
Se temos dois vetores
e
em
, então:
A soma
. Vamos verificar se:
Substituindo:
Portanto, a soma de dois vetores em
também está em
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se tivermos um vetor em
e multiplicarmos ele por qualquer número real, o resultado também deve estar em
.
Se temos um vetor
em
e um escalar
, então:
Multiplicando por
:
Verificando as condições:
Portanto, a multiplicação de um vetor em
por um escalar também está em
.
Resposta
Sim,
é um subespaço de
.
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