Nos itens abaixo, determine se
é ou não um subespaço de
.
é o conjunto de todos os vetores de
tais que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, o enunciado da questão pede para a gente determinar se o conjunto
é ou não um subespaço de
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve álgebra linear, especificamente a definição de subespaço vetorial. Para resolver isso, precisamos verificar se
satisfaz três propriedades básicas de subespaços.
Passo 2
A primeira coisa que a gente precisa checar é se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Vamos substituir esses valores na equação que define
:
Mas o enunciado diz que
, então
. Isso significa que o vetor zero não está em
.
Passo 3
Mesmo que já tenhamos visto que o vetor zero não está em
, vamos entender por que isso é importante. Um subespaço vetorial precisa conter o vetor zero. Se ele não contém, já sabemos que
não é um subespaço. Mas, para ficar completo, vamos verificar as outras propriedades também.
Passo 4
A segunda propriedade é a fechamento sob adição. Isso significa que se dois vetores
e
estão em
, a soma
também deve estar em
.
Vamos considerar dois vetores em
, por exemplo,
e
. Ambos satisfazem
. Agora, somando-os:
Vamos verificar se
está em
:
Então,
não está em
.
Passo 5
A terceira propriedade é o fechamento sob multiplicação por escalar. Isso significa que se um vetor
está em
e
é um escalar, então
também deve estar em
.
Vamos pegar
que está em
e multiplicar por um escalar, digamos
:
Agora, verificando se
está em
:
Então,
não está em
.
Resposta
Como
não contém o vetor zero, e não é fechado sob adição e multiplicação por escalar,
não é um subespaço de
.
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e
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.
é o conjunto de todos os vetores de
cujas as componentes são todas diferentes de zero.