Nos itens abaixo, determine se é ou não um subespaço de .
é o conjunto de todos os vetores de tais que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, o enunciado da questão pede para a gente determinar se o conjunto é ou não um subespaço de . O conteúdo que vamos usar aqui envolve álgebra linear, especificamente a definição de subespaço vetorial. Para resolver isso, precisamos verificar se satisfaz três propriedades básicas de subespaços.

Passo 2

A primeira coisa que a gente precisa checar é se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Vamos substituir esses valores na equação que define :
Mas o enunciado diz que , então . Isso significa que o vetor zero não está em .

Passo 3

Mesmo que já tenhamos visto que o vetor zero não está em , vamos entender por que isso é importante. Um subespaço vetorial precisa conter o vetor zero. Se ele não contém, já sabemos que não é um subespaço. Mas, para ficar completo, vamos verificar as outras propriedades também.

Passo 4

A segunda propriedade é a fechamento sob adição. Isso significa que se dois vetores e estão em , a soma também deve estar em .
Vamos considerar dois vetores em , por exemplo, e . Ambos satisfazem . Agora, somando-os:
Vamos verificar se está em :
Então, não está em .

Passo 5

A terceira propriedade é o fechamento sob multiplicação por escalar. Isso significa que se um vetor está em e é um escalar, então também deve estar em .
Vamos pegar que está em e multiplicar por um escalar, digamos :
Agora, verificando se está em :
Então, não está em .

Resposta

Como não contém o vetor zero, e não é fechado sob adição e multiplicação por escalar, não é um subespaço de .

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é o conjunto de todos os vetores de cujas as componentes são todas diferentes de zero.