Nos itens abaixo, suponha que os vetores {vi} sejam linearmente independentes. Aplique a definição de independência linear para demonstrar que os vetores {u_i} também são linearmente independentes.
u1 = v2 + v3, u2 = v1 + v3, u3 = v1 + v2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que os vetores são linearmente independentes, sabendo que os vetores já são. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com o conceito de independência linear. Para resolver isso, vamos usar a definição de independência linear e ver como os vetores , e se relacionam com os vetores , e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única solução para a equação
é quando todos os coeficientes são zero.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição aos vetores . Precisamos mostrar que se:
então .

Passo 4

Substituímos as expressões de , e em termos de , e :

Passo 5

Distribuímos os coeficientes:

Passo 6

Agrupamos os termos semelhantes:

Passo 7

Como os vetores são linearmente independentes, a única solução para essa equação é que os coeficientes de cada vetor sejam zero:

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  2. Substituindo na segunda equação:
  3. Substituindo na terceira equação:
  4. Assim, e

Resposta

Portanto, os vetores são linearmente independentes.

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