Nos itens abaixo, suponha que os vetores sejam linearmente independentes. Aplique a definição de independência linear para demonstrar que os vetores também são linearmente independentes. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que os vetores são linearmente independentes, sabendo que os vetores já são. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com o conceito de independência linear. Para resolver isso, vamos usar a definição de independência linear e ver como os vetores , e se relacionam com os vetores , e .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única solução para a equação
é quando todos os coeficientes são zero.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição aos vetores . Precisamos mostrar que se:
então .
Passo 4
Substituímos as expressões de , e em termos de , e :
Passo 5
Distribuímos os coeficientes:
Passo 6
Agrupamos os termos semelhantes:
Passo 7
Como os vetores são linearmente independentes, a única solução para essa equação é que os coeficientes de cada vetor sejam zero:
Passo 8
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Substituindo na terceira equação:
Assim, e
Resposta
Portanto, os vetores são linearmente independentes.