Nos itens abaixo, suponha que os vetores sejam linearmente independentes. Aplique a definição de independência linear para demonstrar que os vetores também são linearmente independentes.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que os vetores são linearmente independentes, sabendo que os vetores já são. Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com o conceito de independência linear. Para resolver isso, vamos usar a definição de independência linear e ver como os vetores , e se relacionam com os vetores , e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa independência linear. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única solução para a equação
é quando todos os coeficientes são zero.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição aos vetores . Precisamos mostrar que se:
então .

Passo 4

Substituímos as expressões de , e em termos de , e :

Passo 5

Distribuímos os coeficientes:

Passo 6

Agrupamos os termos semelhantes:

Passo 7

Como os vetores são linearmente independentes, a única solução para essa equação é que os coeficientes de cada vetor sejam zero:

Passo 8

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Da primeira equação:
  2. Substituindo na segunda equação:
  3. Substituindo na terceira equação:
  4. Assim, e

Resposta

Portanto, os vetores são linearmente independentes.

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, expresse o vetor como uma combinação linear dos vetores , se isto for possível. Em caso negativo, demonstre a impossibilidade.
Nos itens abaixo, determine se é ou não um subespaço de .
é o conjunto de todos os vetores de tais que .
Nos itens abaixo, determine se é ou não um subespaço de .
é o conjunto de todos os vetores de tais que .
Nos itens abaixo, determine se é ou não um subespaço de .
é o conjunto de todos os vetores de tais que .