Nos itens abaixo, determine partial fpartial x e partial fpartial y.
f(x, y)=tg^-1(y / x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções compostas e usar a fórmula da derivada da função arctangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial em relação a uma variável significa que tratamos a outra variável como constante. Então, para encontrar , vamos considerar como constante.

Passo 3

Vamos reescrever a função para facilitar a visualização:
f(x, y) = tan^-1(yx)
Aqui, a função interna é , que é uma função de com constante.

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia para derivadas. A derivada da função externa, ddu tan^-1(u) = 11 + u^2 , em relação a dudx = 0 cdot x - y cdot 1x^2 = -yx^2 é:
E a derivada da função interna em relação a é:
(Lembre-se que é constante, então a derivada de em relação a é zero.)

Passo 5

Agora, juntando as duas partes pela regra da cadeia:
partial fpartial x = 11 + (yx)^2 cdot (-yx^2)
Simplificando a expressão:
partial fpartial x = -yx^2 + y^2

Passo 6

Agora, vamos encontrar ddu tan^-1(u) = 11 + u^2 . Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada da função externa dudy = 1x em relação a é a mesma:
E a derivada da função interna em relação a é:

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia:
partial fpartial y = 11 + (yx)^2 cdot 1x
Simplificando a expressão:
partial fpartial y = xx^2 + y^2

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = -yx^2 + y^2 e partial fpartial y = xx^2 + y^2

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