Nos itens abaixo, determine .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente das derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções compostas e usar a fórmula da derivada da função arctangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma derivada parcial em relação a uma variável significa que tratamos a outra variável como constante. Então, para encontrar , vamos considerar como constante.

Passo 3

Vamos reescrever a função para facilitar a visualização:
Aqui, a função interna é , que é uma função de com constante.

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia para derivadas. A derivada da função externa, , em relação a é:
E a derivada da função interna em relação a é:
(Lembre-se que é constante, então a derivada de em relação a é zero.)

Passo 5

Agora, juntando as duas partes pela regra da cadeia:
Simplificando a expressão:

Passo 6

Agora, vamos encontrar . Novamente, usamos a regra da cadeia. A derivada da função externa em relação a é a mesma:
E a derivada da função interna em relação a é:

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando a expressão:

Resposta

As derivadas parciais são:

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[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
(b) Se e , então .
Nos itens abaixo, determine .
Nos itens abaixo, determine .
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
© A função é definida por . Então .