Nos itens abaixo, determine partial fpartial x e partial fpartial y.
f(x, y)=e^x y ln y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as derivadas parciais de uma função de duas variáveis, ou seja, descobrir como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis enquanto mantém a outra constante. A função que temos é . Vamos precisar usar regras de derivação para funções exponenciais e logarítmicas, além da regra do produto e da regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) = e^xy ln y em relação a partial fpartial x = y e^xy ln y , ou seja, . Quando a gente deriva em relação a , o é tratado como uma constante. Então, temos:
Aqui, é apenas uma constante porque estamos derivando em relação a . A derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia, onde a derivada de é e , então ).
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y) = e^xy ln y em relação a partialpartial y e^xy = x e^xy , ou seja, partialpartial y ln y = 1y . Dessa vez, partial fpartial y = e^xy cdot 1y + x e^xy ln y = e^xyy + x e^xy ln y é tratado como uma constante. A função é novamente:
Aqui, precisamos usar a regra do produto porque temos o produto de e .
Primeiro, derivamos em relação a :
Depois, derivamos em relação a :
Agora, aplicando a regra do produto:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = y e^xy ln y
e
partial fpartial y = e^xyy + x e^xy ln y

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