Nos itens abaixo, determine
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as derivadas parciais de uma função de duas variáveis, ou seja, descobrir como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis enquanto mantém a outra constante. A função que temos é
. Vamos precisar usar regras de derivação para funções exponenciais e logarítmicas, além da regra do produto e da regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Quando a gente deriva em relação a
, o
é tratado como uma constante. Então, temos:
Aqui,
é apenas uma constante porque estamos derivando em relação a
. A derivada de
em relação a
é
(usando a regra da cadeia, onde a derivada de
é
e
, então
).
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Dessa vez,
é tratado como uma constante. A função é novamente:
Aqui, precisamos usar a regra do produto porque temos o produto de
e
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
Depois, derivamos
em relação a
:
Agora, aplicando a regra do produto:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, determine
.
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
(b) Se e
, então
.
(b) Se
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
© A função é definida por
. Então
.
© A função
[2 pt] Responda com V (verdadeiro) ou F (falso). Não precisa justificar a resposta.
(e) Para função , temos
.
(e) Para função