Nos itens abaixo, determine
.
contínua
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
, onde
é uma função contínua. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e o Teorema Fundamental do Cálculo que liga integrais e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender
. Aqui, queremos ver como
muda quando a variável
muda, mantendo
fixo. Observe que
está no limite inferior da integral. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, quando derivamos uma integral com um limite variável, a derivada é igual a menos a função avaliada nesse limite. Então, temos:
Isso porque o limite inferior
contribui negativamente para a variação da integral.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Aqui, queremos saber como
muda quando
muda, mantendo
fixo. Desta vez,
está no limite superior da integral. Novamente, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de uma integral com o limite superior variável é simplesmente a função avaliada nesse limite. Assim, temos:
Isso porque o limite superior
adiciona diretamente à variação da integral.
Resposta
As derivadas parciais são:
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Calcule os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites:
Nos itens abaixo, determine
.