Nos itens abaixo, determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja posição no tempo é .
em

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que foi pedido. Temos a posição de uma partícula no tempo, dada pela função vetorial . O objetivo é descobrir três coisas: a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar dessa partícula no instante . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, como derivadas de funções vetoriais e a fórmula para calcular a magnitude de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é simplesmente a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Calculando cada derivada:
Agora, substituindo :

Passo 3

Agora, vamos determinar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Calculando cada derivada:
Como a aceleração não depende do tempo, para :

Passo 4

Por último, vamos calcular a velocidade escalar, que é a magnitude do vetor velocidade. A fórmula para a magnitude de um vetor é:
Aplicando para :

Resposta

  • Velocidade em :
  • Aceleração em :
  • Velocidade escalar em :

Exercícios relacionados

Seja a curva plana determinada pelo gráfico da função .
Encontre uma parametrização de .
Verifique que o traço da curva está contido nas superfícies e . Use este fato para esboçar a curva.
Se o traço de uma curva está contido em uma esfera centrada na origem, mostre que vetor posição e o vetor velocidade são ortogonais para todo .
Seja a curva plana determinada pelo gráfico da função .
Mostre que a curvatura de no ponto é