Nos itens abaixo, determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja posição no tempo
é
.
em
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que foi pedido. Temos a posição de uma partícula no tempo, dada pela função vetorial
. O objetivo é descobrir três coisas: a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar dessa partícula no instante
. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, como derivadas de funções vetoriais e a fórmula para calcular a magnitude de um vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é simplesmente a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Calculando cada derivada:
Agora, substituindo
:
Passo 3
Agora, vamos determinar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Calculando cada derivada:
Como a aceleração não depende do tempo, para
:
Passo 4
Por último, vamos calcular a velocidade escalar, que é a magnitude do vetor velocidade. A fórmula para a magnitude de um vetor
é:
Aplicando para
:
Resposta
- Velocidade em
: - Aceleração em
: - Velocidade escalar em
:
Exercícios relacionados
Seja
a curva plana determinada pelo gráfico da função
.
Encontre uma parametrização de
.
Encontre uma parametrização
Verifique que o traço da curva
está contido nas superfícies
e
. Use este fato para esboçar a curva.
Se o traço de uma curva
está contido em uma esfera centrada na origem, mostre que vetor posição
e o vetor velocidade
são ortogonais para todo
.
Seja
a curva plana determinada pelo gráfico da função
.
Mostre que a curvatura de no ponto
é
Mostre que a curvatura de