Nos itens abaixo, determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja posição no tempo t é alpha(t).
alpha(t) = (t, t^2, 2) em t = 1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que foi pedido. Temos a posição de uma partícula no tempo, dada pela função vetorial . O objetivo é descobrir três coisas: a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar dessa partícula no instante . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, como derivadas de funções vetoriais e a fórmula para calcular a magnitude de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é simplesmente a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
Calculando cada derivada:
Agora, substituindo :

Passo 3

Agora, vamos determinar a aceleração da partícula. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Calculando cada derivada:
Como a aceleração não depende do tempo, para :

Passo 4

Por último, vamos calcular a velocidade escalar, que é a magnitude do vetor velocidade. A fórmula para a magnitude de um vetor é:
Aplicando para :

Resposta

  • Velocidade em t = 1:
  • Aceleração em t = 1:
  • Velocidade escalar em t = 1:

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