Verifique que o traço da curva alpha(t) = (t^3, t^6, -t^3) está contido nas superfícies x + z = 0 e y = x^2. Use este fato para esboçar a curva.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por . O exercício quer que a gente verifique se essa curva está dentro das superfícies e . Além disso, precisamos usar essa informação para desenhar um esboço da curva. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre curvas paramétricas e superfícies no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a curva está na superfície . Isso significa que, para qualquer valor de t, a soma das coordenadas x e z da curva deve ser igual a zero. Então, vamos calcular:
Viu? A soma dá zero para qualquer valor de t. Então, a curva realmente está na superfície .

Passo 3

Agora, vamos ver se a curva está na superfície . Isso quer dizer que, para qualquer t, a coordenada y da curva deve ser igual ao quadrado da coordenada x. Vamos calcular:
Então, temos para qualquer valor de t. Isso confirma que a curva também está na superfície .

Passo 4

Como a curva está em ambas as superfícies, podemos usar isso para desenhar um esboço dela. Sabemos que é uma parábola no plano x - y, e é um plano que relaciona x e z. Podemos expressar z em termos de x a partir da segunda equação:

Passo 5

Agora, substituindo na parametrização da curva, temos:
Isso mostra que, para cada valor de x, y é igual a x^2 e z é igual a -x. Portanto, a curva é uma parábola que se estende no espaço tridimensional, com z variando linearmente em relação a x.

Resposta

A curva está contida nas superfícies e . O esboço da curva é uma parábola tridimensional onde e .

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