Verifique que o traço da curva está contido nas superfícies e . Use este fato para esboçar a curva.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por . O exercício quer que a gente verifique se essa curva está dentro das superfícies e . Além disso, precisamos usar essa informação para desenhar um esboço da curva. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre curvas paramétricas e superfícies no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a curva está na superfície . Isso significa que, para qualquer valor de , a soma das coordenadas e da curva deve ser igual a zero. Então, vamos calcular:
Viu? A soma dá zero para qualquer valor de . Então, a curva realmente está na superfície .

Passo 3

Agora, vamos ver se a curva está na superfície . Isso quer dizer que, para qualquer , a coordenada da curva deve ser igual ao quadrado da coordenada . Vamos calcular:
Então, temos para qualquer valor de . Isso confirma que a curva também está na superfície .

Passo 4

Como a curva está em ambas as superfícies, podemos usar isso para desenhar um esboço dela. Sabemos que é uma parábola no plano , e é um plano que relaciona e . Podemos expressar em termos de a partir da segunda equação:

Passo 5

Agora, substituindo na parametrização da curva, temos:
Isso mostra que, para cada valor de , é igual a e é igual a . Portanto, a curva é uma parábola que se estende no espaço tridimensional, com variando linearmente em relação a .

Resposta

A curva está contida nas superfícies e . O esboço da curva é uma parábola tridimensional onde e .

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