Verifique que o traço da curva
está contido nas superfícies
e
. Use este fato para esboçar a curva.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por
. O exercício quer que a gente verifique se essa curva está dentro das superfícies
e
. Além disso, precisamos usar essa informação para desenhar um esboço da curva. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre curvas paramétricas e superfícies no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a curva está na superfície
. Isso significa que, para qualquer valor de
, a soma das coordenadas
e
da curva deve ser igual a zero. Então, vamos calcular:
Viu? A soma dá zero para qualquer valor de
. Então, a curva realmente está na superfície
.
Passo 3
Agora, vamos ver se a curva está na superfície
. Isso quer dizer que, para qualquer
, a coordenada
da curva deve ser igual ao quadrado da coordenada
. Vamos calcular:
Então, temos
para qualquer valor de
. Isso confirma que a curva também está na superfície
.
Passo 4
Como a curva está em ambas as superfícies, podemos usar isso para desenhar um esboço dela. Sabemos que
é uma parábola no plano
, e
é um plano que relaciona
e
. Podemos expressar
em termos de
a partir da segunda equação:
Passo 5
Agora, substituindo
na parametrização da curva, temos:
Isso mostra que, para cada valor de
,
é igual a
e
é igual a
. Portanto, a curva é uma parábola que se estende no espaço tridimensional, com
variando linearmente em relação a
.
Resposta
A curva
está contida nas superfícies
e
. O esboço da curva é uma parábola tridimensional onde
e
.
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.
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.
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é
.
em