Se o traço de uma curva
está contido em uma esfera centrada na origem, mostre que vetor posição
e o vetor velocidade
são ortogonais para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma curva que está dentro de uma esfera centrada na origem. Nosso objetivo aqui é mostrar que o vetor posição da curva, que é
, e o vetor velocidade, que é
, são perpendiculares (ou seja, ortogonais) para qualquer valor de
no intervalo dado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e geometria vetorial, especialmente relacionados a derivadas e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando uma curva está contida em uma esfera centrada na origem, a distância de qualquer ponto da curva até a origem é constante. Se chamarmos o raio da esfera de
, isso significa que para todo
, a norma do vetor posição
é igual a
. Matematicamente, isso fica assim:
Passo 3
Agora, para facilitar os cálculos, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado. Assim, temos:
Sabemos que a norma de um vetor ao quadrado é igual ao produto escalar do vetor consigo mesmo. Então, podemos reescrever a equação como:
Passo 4
Vamos agora diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que
é uma constante, a derivada dele em relação a
é zero. A derivada do lado esquerdo, usando a regra do produto para derivadas, fica:
Portanto, temos:
Passo 5
Simplificando a equação acima, dividimos ambos os lados por 2:
O produto escalar de dois vetores é zero quando eles são perpendiculares. Então, concluímos que
e
são ortogonais para todo
no intervalo.
Resposta
Portanto, mostramos que o vetor posição
e o vetor velocidade
são perpendiculares para todo
.
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja posição no tempo
é
.
em
Seja
a curva plana determinada pelo gráfico da função
.
Encontre uma parametrização de
.
Encontre uma parametrização
Seja
a curva plana determinada pelo gráfico da função
.
Mostre que a curvatura de no ponto
é
Mostre que a curvatura de
Seja
uma parametrização pelo comprimento de arco de uma curva
. Sendo
, o triedro de Frenet de
no ponto
, obtenha os itens a seguir.
Mostre que é perpendicular a
para todo
. (dica: derive
.)
Mostre que