Se o traço de uma curva está contido em uma esfera centrada na origem, mostre que vetor posição e o vetor velocidade são ortogonais para todo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma curva que está dentro de uma esfera centrada na origem. Nosso objetivo aqui é mostrar que o vetor posição da curva, que é , e o vetor velocidade, que é , são perpendiculares (ou seja, ortogonais) para qualquer valor de no intervalo dado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e geometria vetorial, especialmente relacionados a derivadas e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando uma curva está contida em uma esfera centrada na origem, a distância de qualquer ponto da curva até a origem é constante. Se chamarmos o raio da esfera de , isso significa que para todo , a norma do vetor posição é igual a . Matematicamente, isso fica assim:

Passo 3

Agora, para facilitar os cálculos, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado. Assim, temos:
Sabemos que a norma de um vetor ao quadrado é igual ao produto escalar do vetor consigo mesmo. Então, podemos reescrever a equação como:

Passo 4

Vamos agora diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que é uma constante, a derivada dele em relação a é zero. A derivada do lado esquerdo, usando a regra do produto para derivadas, fica:
Portanto, temos:

Passo 5

Simplificando a equação acima, dividimos ambos os lados por 2:
O produto escalar de dois vetores é zero quando eles são perpendiculares. Então, concluímos que e são ortogonais para todo no intervalo.

Resposta

Portanto, mostramos que o vetor posição e o vetor velocidade são perpendiculares para todo .

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja posição no tempo é .
em
Seja a curva plana determinada pelo gráfico da função .
Encontre uma parametrização de .
Seja a curva plana determinada pelo gráfico da função .
Mostre que a curvatura de no ponto é
Seja uma parametrização pelo comprimento de arco de uma curva . Sendo , o triedro de Frenet de no ponto , obtenha os itens a seguir.
Mostre que é perpendicular a para todo . (dica: derive .)