Se o traço de uma curva alpha: (a, b) -> R^3 está contido em uma esfera centrada na origem, mostre que vetor posição alpha(t) e o vetor velocidade alpha'(t) são ortogonais para todo t in (a, b).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma curva que está dentro de uma esfera centrada na origem. Nosso objetivo aqui é mostrar que o vetor posição da curva, que é , e o vetor velocidade, que é , são perpendiculares (ou seja, ortogonais) para qualquer valor de no intervalo dado. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e geometria vetorial, especialmente relacionados a derivadas e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando uma curva está contida em uma esfera centrada na origem, a distância de qualquer ponto da curva até a origem é constante. Se chamarmos o raio da esfera de , isso significa que para todo , a norma do vetor posição é igual a . Matematicamente, isso fica assim:

Passo 3

Agora, para facilitar os cálculos, vamos elevar ambos os lados da equação ao quadrado. Assim, temos:
Sabemos que a norma de um vetor ao quadrado é igual ao produto escalar do vetor consigo mesmo. Então, podemos reescrever a equação como:

Passo 4

Vamos agora diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que é uma constante, a derivada dele em relação a é zero. A derivada do lado esquerdo, usando a regra do produto para derivadas, fica:
Portanto, temos:

Passo 5

Simplificando a equação acima, dividimos ambos os lados por 2:
O produto escalar de dois vetores é zero quando eles são perpendiculares. Então, concluímos que e são ortogonais para todo no intervalo.

Resposta

Portanto, mostramos que o vetor posição e o vetor velocidade são perpendiculares para todo .

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