Seja a curva plana determinada pelo gráfico da função .
Mostre que a curvatura de no ponto é

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva que é o gráfico de uma função definida no intervalo . O assunto aqui é curvatura de uma curva plana, que nos diz quão “curvada” a curva está em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar das derivadas da função e da fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é curvatura. A curvatura de uma curva em um ponto mede a rapidez com que a direção da curva muda nesse ponto. Quanto maior a curvatura, mais “fechada” ou “afiada” é a curva naquele ponto.

Passo 3

Para uma função , a fórmula da curvatura é dada por:
Aqui, é a primeira derivada de , que representa a inclinação da curva, e é a segunda derivada, que representa a concavidade da curva.

Passo 4

No exercício, a curva é parametrizada por , então vamos adaptar a fórmula da curvatura para usar o parâmetro :
Isso significa que substituímos por na fórmula.

Passo 5

Agora, vamos interpretar essa fórmula:
  • Numerador: indica o módulo da segunda derivada, ou seja, a concavidade da curva no ponto.
  • Denominador: ajusta a curvatura considerando a inclinação da curva no ponto.

Resposta

A curvatura de no ponto é

Exercícios relacionados

Se o traço de uma curva está contido em uma esfera centrada na origem, mostre que vetor posição e o vetor velocidade são ortogonais para todo .
Nos itens abaixo, determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja posição no tempo é .
em
Seja uma parametrização pelo comprimento de arco de uma curva . Sendo , o triedro de Frenet de no ponto , obtenha os itens a seguir.
Mostre que é perpendicular a para todo . (dica: derive .)
Nos itens abaixo, determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja posição no tempo é .
.