Seja C a curva plana determinada pelo gráfico da função f: [a, b] -> R.
Mostre que a curvatura de C no ponto alpha(t) é
kappa(t) = |f''(t)| / [1 + (f'(t))^2]^(3/2)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva que é o gráfico de uma função definida no intervalo . O assunto aqui é curvatura de uma curva plana, que nos diz quão “curvada” a curva está em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar das derivadas da função e da fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é curvatura. A curvatura de uma curva em um ponto mede a rapidez com que a direção da curva muda nesse ponto. Quanto maior a curvatura, mais “fechada” ou “afiada” é a curva naquele ponto.

Passo 3

Para uma função , a fórmula da curvatura é dada por:
Aqui, é a primeira derivada de , que representa a inclinação da curva, e é a segunda derivada, que representa a concavidade da curva.

Passo 4

No exercício, a curva é parametrizada por , então vamos adaptar a fórmula da curvatura para usar o parâmetro :
Isso significa que substituímos por na fórmula.

Passo 5

Agora, vamos interpretar essa fórmula:
  • Numerador: indica o módulo da segunda derivada, ou seja, a concavidade da curva no ponto.
  • Denominador: ajusta a curvatura considerando a inclinação da curva no ponto.

Resposta

A curvatura de no ponto é

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