Seja
a curva plana determinada pelo gráfico da função
.
Mostre que a curvatura de
no ponto
é
Mostre que a curvatura de
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma curva
que é o gráfico de uma função
definida no intervalo
. O assunto aqui é curvatura de uma curva plana, que nos diz quão “curvada” a curva está em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar das derivadas da função
e da fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é curvatura. A curvatura
de uma curva em um ponto mede a rapidez com que a direção da curva muda nesse ponto. Quanto maior a curvatura, mais “fechada” ou “afiada” é a curva naquele ponto.
Passo 3
Para uma função
, a fórmula da curvatura
é dada por:
Aqui,
é a primeira derivada de
, que representa a inclinação da curva, e
é a segunda derivada, que representa a concavidade da curva.
Passo 4
No exercício, a curva é parametrizada por
, então vamos adaptar a fórmula da curvatura para usar o parâmetro
:
Isso significa que substituímos
por
na fórmula.
Passo 5
Agora, vamos interpretar essa fórmula:
- Numerador:
indica o módulo da segunda derivada, ou seja, a concavidade da curva no ponto. - Denominador:
ajusta a curvatura considerando a inclinação da curva no ponto.
Resposta
A curvatura de
no ponto
é
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Se o traço de uma curva
está contido em uma esfera centrada na origem, mostre que vetor posição
e o vetor velocidade
são ortogonais para todo
.
Nos itens abaixo, determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja posição no tempo
é
.
em
Seja
uma parametrização pelo comprimento de arco de uma curva
. Sendo
, o triedro de Frenet de
no ponto
, obtenha os itens a seguir.
Mostre que é perpendicular a
para todo
. (dica: derive
.)
Mostre que
Nos itens abaixo, determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja posição no tempo
é
.
.