Seja
uma parametrização pelo comprimento de arco de uma curva
. Sendo
, o triedro de Frenet de
no ponto
, obtenha os itens a seguir.
Mostre que
é perpendicular a
para todo
. (dica: derive
.)
Mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva no espaço tridimensional, parametrizada pelo comprimento de arco, e queremos mostrar que a derivada do vetor binormal
é sempre perpendicular ao vetor tangente
para qualquer ponto na curva. Para resolver isso, vamos usar conceitos do triedro de Frenet, que envolve os vetores
,
e
, e operações de derivadas vetoriais.
Passo 2
Sabemos que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. Então, se queremos mostrar que
é perpendicular a
, podemos começar verificando o produto escalar
.
Passo 3
Primeiro, observamos que
e
são perpendiculares por definição do triedro de Frenet. Portanto:
Para descobrir como
se relaciona com
, vamos derivar ambos os lados dessa igualdade em relação a
.
Passo 4
Aplicando a regra do produto na derivada do produto escalar, temos:
Sabemos das fórmulas do triedro de Frenet que
, onde
é a curvatura da curva. Substituindo isso na equação:
Passo 5
Agora, observamos que
é perpendicular a
também, ou seja,
. Portanto, a segunda parte da equação desaparece:
Assim, concluímos que:
Resposta
Portanto, mostramos que
é perpendicular a
para todo
.
Exercícios relacionados
Seja
a curva plana determinada pelo gráfico da função
.
Mostre que a curvatura de no ponto
é
Mostre que a curvatura de
Se o traço de uma curva
está contido em uma esfera centrada na origem, mostre que vetor posição
e o vetor velocidade
são ortogonais para todo
.
Nos itens abaixo, determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja posição no tempo
é
.
.
Determine as componentes tangencial e normal do vetor aceleração.
.