Seja alpha : [0, L] -> R^3 uma parametrização pelo comprimento de arco de uma curva C. Sendo {T(s), N(s), B(s)}, o triedro de Frenet de C no ponto alpha(s), obtenha os itens a seguir.
Mostre que B'(s) é perpendicular a T(s) para todo s em [0, L]. (dica: derive B(s) * T(s) = 0.)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva no espaço tridimensional, parametrizada pelo comprimento de arco, e queremos mostrar que a derivada do vetor binormal é sempre perpendicular ao vetor tangente para qualquer ponto na curva. Para resolver isso, vamos usar conceitos do triedro de Frenet, que envolve os vetores , e , e operações de derivadas vetoriais.

Passo 2

Sabemos que dois vetores são perpendiculares se o produto escalar entre eles for zero. Então, se queremos mostrar que é perpendicular a , podemos começar verificando o produto escalar .

Passo 3

Primeiro, observamos que e são perpendiculares por definição do triedro de Frenet. Portanto:
Para descobrir como se relaciona com , vamos derivar ambos os lados dessa igualdade em relação a .

Passo 4

Aplicando a regra do produto na derivada do produto escalar, temos:
Sabemos das fórmulas do triedro de Frenet que , onde é a curvatura da curva. Substituindo isso na equação:

Passo 5

Agora, observamos que é perpendicular a também, ou seja, . Portanto, a segunda parte da equação desaparece:
Assim, concluímos que:

Resposta

Portanto, mostramos que é perpendicular a para todo .

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