Mostre que a integral de linha integralgamma f(x, y) d s independe da parametrização escolhida, isto é, se gamma1:[a, b] R^2 é uma parametrização de C, h:[c, d] [a, b] bijetiva e de classe C^1 e gamma2:[c, d] R^2 é definida por gamma2(s)=gamma1(h(s)) (gamma2 é reparametrização de gamma1), então
integralgamma1 f(x, y) d s=integralgamma2 f(x, y) d s
Vale o mesmo para integralgamma f(x, y, z) d s.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que a integral de linha não depende de como a curva é parametrizada. Isso está no campo do cálculo vetorial, especificamente lidando com integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar usar a troca de variáveis e entender como a reparametrização afeta a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa reparametrizar uma curva. Temos duas parametrizações da mesma curva : e , onde com sendo bijetiva e diferenciável. Isso quer dizer que percorre a mesma curva que , mas possivelmente de maneira diferente.

Passo 3

Vamos escrever a integral de linha para integralgamma1 f(x, y) , ds = integrala^b f(gamma1(t)) |gamma1'(t)| , dt :
Aqui, representa o comprimento infinitesimal na curva.

Passo 4

Agora, vamos escrever a integral de linha para integralgamma2 f(x, y) , ds = integralc^d f(gamma2(s)) |gamma2'(s)| , ds :
integralc^d f(gamma1(h(s))) |gamma1'(h(s)) h'(s)| , ds
Substituindo , temos:

Passo 5

Observamos que é a derivada da função de reparametrização e, como é bijetiva e diferenciável, não é zero. Podemos então fazer uma mudança de variável onde , o que implica .

Passo 6

Com a mudança de variável, os limites da integral mudam de integralc^d f(gamma1(h(s))) |gamma1'(h(s)) h'(s)| , ds = integrala^b f(gamma1(t)) |gamma1'(t)| , dt para para a . Assim, a integral fica:

Resposta

Portanto, mostramos que:
integralgamma1 f(x, y) , ds = integralgamma2 f(x, y) , ds
E o mesmo vale para .

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