Mostre que a integral de linha independe da parametrização escolhida, isto é, se é uma parametrização de bijetiva e de classe e é definida por é reparametrização de , então
Vale o mesmo para .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que a integral de linha não depende de como a curva é parametrizada. Isso está no campo do cálculo vetorial, especificamente lidando com integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar usar a troca de variáveis e entender como a reparametrização afeta a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa reparametrizar uma curva. Temos duas parametrizações da mesma curva : e , onde com sendo bijetiva e diferenciável. Isso quer dizer que percorre a mesma curva que , mas possivelmente de maneira diferente.

Passo 3

Vamos escrever a integral de linha para :
Aqui, representa o comprimento infinitesimal na curva.

Passo 4

Agora, vamos escrever a integral de linha para :
Substituindo , temos:

Passo 5

Observamos que é a derivada da função de reparametrização e, como é bijetiva e diferenciável, não é zero. Podemos então fazer uma mudança de variável onde , o que implica .

Passo 6

Com a mudança de variável, os limites da integral mudam de para para a . Assim, a integral fica:

Resposta

Portanto, mostramos que:
E o mesmo vale para .

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo, determine os vetores velocidade e posição de uma partícula, dadas a sua aceleração, velocidade inicial e posição inicial.
.
Nos itens abaixo, determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja posição no tempo é .