Mostre que a integral de linha
independe da parametrização escolhida, isto é, se
é uma parametrização de
bijetiva e de classe
e
é definida por
é reparametrização de
, então
Vale o mesmo para
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que a integral de linha
não depende de como a curva
é parametrizada. Isso está no campo do cálculo vetorial, especificamente lidando com integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar usar a troca de variáveis e entender como a reparametrização afeta a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa reparametrizar uma curva. Temos duas parametrizações da mesma curva
:
e
, onde
com
sendo bijetiva e diferenciável. Isso quer dizer que
percorre a mesma curva que
, mas possivelmente de maneira diferente.
Passo 3
Vamos escrever a integral de linha para
:
Aqui,
representa o comprimento infinitesimal
na curva.
Passo 4
Agora, vamos escrever a integral de linha para
:
Substituindo
, temos:
Passo 5
Observamos que
é a derivada da função de reparametrização e, como
é bijetiva e diferenciável,
não é zero. Podemos então fazer uma mudança de variável onde
, o que implica
.
Passo 6
Com a mudança de variável, os limites da integral mudam de
para
para
a
. Assim, a integral fica:
Resposta
Portanto, mostramos que:
E o mesmo vale para
.
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, determine os vetores velocidade e posição de uma partícula, dadas a sua aceleração, velocidade inicial e posição inicial.
.
Nos itens abaixo, determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja posição no tempo
é
.