Nos itens abaixo, determine se é ou não um subespaço de .
é o conjunto de todos os vetores de tais que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se o conjunto , que é composto por todos os vetores em onde , é ou não um subespaço de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de é um subespaço se ele satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor pertence a .
  2. É fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificar se contém o vetor zero:
O vetor zero em é . Vamos ver se ele satisfaz a condição :
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Verificar se é fechado sob adição:
Seja e dois vetores em . Então:
Vamos somar e :
Precisamos verificar se :
A igualdade se mantém, então está em .

Passo 5

3. Verificar se é fechado sob multiplicação por escalar:
Seja em e um escalar qualquer. Então:
Vamos multiplicar por :
Precisamos verificar se :
A igualdade se mantém, então está em .

Resposta

Como o conjunto satisfaz todas as três condições necessárias (contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar), podemos concluir que é um subespaço de .

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