Nos itens abaixo, determine se
é ou não um subespaço de
.
é o conjunto de todos os vetores de
tais que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se o conjunto
, que é composto por todos os vetores em
onde
, é ou não um subespaço de
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e suas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de
é um subespaço se ele satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
pertence a . - É fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em . - É fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificar se
contém o vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos ver se ele satisfaz a condição
:
Como a igualdade é verdadeira, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Verificar se
é fechado sob adição:
Seja
e
dois vetores em
. Então:
Vamos somar
e
:
Precisamos verificar se
:
A igualdade se mantém, então
está em
.
Passo 5
3. Verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Seja
em
e
um escalar qualquer. Então:
Vamos multiplicar
por
:
Precisamos verificar se
:
A igualdade se mantém, então
está em
.
Resposta
Como o conjunto
satisfaz todas as três condições necessárias (contém o vetor zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar), podemos concluir que
é um subespaço de
.
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Calcule a distância entre os vetores:
e
Calcule a projeção ortogonal do vetor Ysobre o vetor X:
e
Nos itens abaixo, determine se
é ou não um subespaço de
.
é o conjunto de todos os vetores de
tais que
.
Nos itens abaixo, expresse o vetor
como uma combinação linear dos vetores
, se isto for possível. Em caso negativo, demonstre a impossibilidade.