Nos itens abaixo, expresse o vetor
como uma combinação linear dos vetores
, se isto for possível. Em caso negativo, demonstre a impossibilidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para expressar o vetor
como uma combinação linear dos vetores
e
. Isso significa que queremos encontrar escalares
e
tais que:
Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações com base nas componentes dos vetores.
Passo 2
Vamos escrever a combinação linear componente por componente:
Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas (
e
). Para resolver, vamos usar as duas primeiras equações.
Passo 3
Primeiro, vamos resolver as duas primeiras equações para encontrar
e
. Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Aqui, vou usar a substituição.
Da segunda equação:
Podemos isolar
:
Passo 4
Agora, substituímos o valor de
encontrado na primeira equação:
Passo 5
Resolvendo para
:
Agora, substituímos
na expressão de
:
Passo 6
Vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
Como a terceira equação também é satisfeita, encontramos os valores de
e
que funcionam.
Resposta
Portanto, o vetor
pode ser expresso como uma combinação linear de
e
da seguinte forma:
Exercícios relacionados
Nos itens abaixo, determine se
é ou não um subespaço de
.
é o conjunto de todos os vetores de
tais que
.
Nos itens abaixo, determine se
é ou não um subespaço de
.
é o conjunto de todos os vetores de
tais que
.
Nos itens abaixo, suponha que os vetores
sejam linearmente independentes. Aplique a definição de independência linear para demonstrar que os vetores
também são linearmente independentes.
.
Nos itens abaixo, determine se
é ou não um subespaço de
.
é o conjunto de todos os vetores de
tais que
.