Nos itens abaixo, expresse o vetor w como uma combinação linear dos vetores v1, v2, ..., vk, se isto for possível. Em caso negativo, demonstre a impossibilidade.
w = (1, 0, -7), v1 = (5, 3, 4), v2 = (3, 2, 5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para expressar o vetor como uma combinação linear dos vetores e . Isso significa que queremos encontrar escalares e tais que:
Para resolver isso, vamos montar um sistema de equações com base nas componentes dos vetores.

Passo 2

Vamos escrever a combinação linear componente por componente:
Agora, temos um sistema de três equações com duas incógnitas ( e ). Para resolver, vamos usar as duas primeiras equações.

Passo 3

Primeiro, vamos resolver as duas primeiras equações para encontrar e . Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Aqui, vou usar a substituição.
Da segunda equação:
Podemos isolar :

Passo 4

Agora, substituímos o valor de encontrado na primeira equação:

Passo 5

Resolvendo para :
Agora, substituímos na expressão de :

Passo 6

Vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
Como a terceira equação também é satisfeita, encontramos os valores de e que funcionam.

Resposta

Portanto, o vetor w pode ser expresso como uma combinação linear de e da seguinte forma:

Exercícios relacionados